공대생 공부노트

[ 미분방정식이란? ]미지의 함수와 그 도함수, 독립변수 등으로 나타낸 방정식으로, 미지의 함수 y를 해로 갖는다.변수가 한개면 상미분방정식, 변수가 여러개면 편미분방정식이라 부른다.방정식으로부터 얻어낸 임의의 상수 c를 포함한 해를 일반해라고 하며, 그 일반해에 초기값을 대입하여 특수해를 특정할 수 있다. 이런 문제를 초기값 문제라고 한다.1계 미분방정식을 풀이하는 방법에는 여러가지가 있다.우선은 변수분리형, 완전미분방정식(적분인자법), 선형미분방정식, 베르누이방정식 등만 기억하자. [미분방정식 y'=f(x,y)의 기하적 의미]y'=f(x,y)꼴의 형태는 두가지 기하적 관점에서 해석할 수 있다. 첫번째는 방향장 관점으로, xy 평면상의 (x,y)점에서의 함수 y의 기울기가 y'이므로, 우변의 f(x,y..

그린 정리는 다음과 같다. 일반적으로 그린정리를 증명하기는 지금 단계에서 쉽지 않으니 일단 넘어가자.어떤 영역의 경계선을따라 선적분한 결과는, 내부 영역에 분포한 변화율을 면적으로 누적한 결과라는 의미로,일변수함수에서 도함수의 면적이 원함수의 함숫값 차와 같다는 원리에 대응되는 개념이다. 단순한 상황에 그린정리를 적용해봄으로써 증명을 대체하도록 한다.그린정리는 두가지 요소로 구성된다. 다음 두항들은 서로 같다. 위 그림과 같은 그래프가 있다고 하자.위쪽 식의 우변은따라서위쪽 식의 좌변 선적분은 다음과 같다.따라서 둘은 같다.Q에 대한 아래쪽 식도 완전히 동일한 과정을 거친다.

벡터장의 정의는 위와 같다. 공간상의 어느 점 (x,y,z)에 대응되는 벡터의 방향과 세기를 나타내는 함수를 벡터장 이라고 하며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.여기서 P,Q,R 은 해당 좌표에서 벡터의 xyz성분 크기를 의미하므로 스칼라함수임에 주의하자.벡터장을 F(x,y,z) 대신 F(x)라고 표현하기도 한다. 여기서 x는 우리가 보고자 하는 지점 (x,y,z)의 위치벡터이다. 예시를 들어보자.원점에 질량 M이 놓여있을때 공간상에 놓인 질량m에 작용하는 중력장을 다음과 같이 나타낼 수 있다.x는 관찰지점의 위치벡터이다. x는 |x|x^ 이므로 분모는 크기의 제곱이 되고, 해당 지점의 중력 벡터 방향은 위치벡터 방향과 같고 세기는 우리가 익히 아는 만류인력의 세기이다. 그림으로는 다음과 같이 나타난다.[..

삼중적분을 이해하기 위해 공간상의 직육면체를 다음처럼 정의하자.등분한 직육면체 조각의 부피는 모두 같다.이 부피 값에 해당 지점에서의 f(x,y,z)값을 곱해 리만합을 구성한다.이제 직육면체가 아닌 보다 일반적인 영역에서 삼중적분을 정의해보자. 이중적분에서와 마찬가지로, 대상영역 E를 포함하는 단순한 직육면체 영역을 설정하고, E 바깥의 함숫값을 0이라고 두는 아이디어를 사용한다.마찬가지로, 삼중적분에도 Type 1과 2가 있다. 푸비니 정리에 따라 삼중적분은 총 6가지 순서가 가능한데, 그중에 어떤 순서가 가장 편리할 지 문제따라 유동적으로 판단하면 된다. 삼중적분은 부피 등의 시각적, 기하학적 관점으로 접근하면 오히려 혼란스러워진다.f(x,y,z)그래프 자체가 시각적으로 표현하기 어려운 4차원이기 때..

이중적분을 실생활에 어떻게 사용할까? 어떤 평면 철판이 있는데, 이 철판의 밀도(면적당 질량)가 지점마다 불균일한 상황을 가정해보자.작은 조각의 질량은 해당 지점에서의 밀도와 미소 조각의 면적의 곱과 같으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.이것은 전하에 대해서도 성립한다. 전하밀도에 대해 판의 전하량은 다음과 같다.기하적으로는, xy좌표에 따라 밀도의 값을 삼차원 곡면으로 나타냈을때 그 곡면과 밑면 사이 영역의 부피가 바로 그 밑면의 질량(전하량)이 될 것이다. 이번엔 이중적분을 통해 모멘트와 질량중심을 정의해보자.모멘트란 질량과 어떤 축으로 부터의 거리로, 물체를 축을 중심으로 회전시키려는 세기를 의미한다. 어떤 평면위에 임의의 물체가 있을때, 임의로 x,y축을 잡고 x축과 y축에 대한 모멘트를 구해보자..

어떤 함수들은 직교좌표계로 표현하는 것보다 극좌표계로 표현하는것이 간단할 때가 있다.적분 또한 직교좌표계에서 적분하는 방식보다 극좌표계의 적분이 편할때가 있다.예컨대 위 함수와 같은 영역위의 함수를 직교좌표계에서의 적분으로 표현하려면 상당히 복잡한 루트 형태가 등장할 것이다.그렇다면 극좌표계에서의 이중적분은 어떻게 표현해야할까? 위 그림은 극좌표계에서 사각형처럼 생긴 Polar Rectangle R의 모습이다.이 도형을 작은 조각으로 쪼개면 마치 사각형처럼 생겼지만 사각형으로 근사할 수는 없음에 주의하자!반지름 b-a와 각도 B-A를 등분하자.부채꼴 면적 공식에 의해, 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 빼 면적요소의 넓이를 계산할 수 있다.아래 식을 위에 대입하면,여기서 앞의 항은 두 반지름의 절반이다. ri..

이전 글에서 우리는 바닥 영역 R이 직사각형인 경우를 살펴보았다.이제는 바닥영역 D가 일반적인 모양일 때 이중적분을 정의해볼 것이다. 핵심아이디어는 다음과 같다. 바닥영역 D를 감싸는 직사각형 R을 설정하고, D 밖에서는 함숫값이 0인 새로운 함수를 정의하고 적분하는것이다.함숫값 0은 부피에 영향을 주지 않기 때문에 이 값은 D 영역의 부피와 같다. 일반적 밑면에 대한 이중적분에는 두가지 타입이 있다.더 단순하게 표현되는 축이 어디냐에 따라 Type1과 Type2로 나뉜다. 위와 같은 Type1 함수들의 경우, 구간을 표현할 때 먼저 x값을 고정하고 y에 대해 적분한 면을 다시 단순한 x축에 대해 펼치는 방식이 더 유리하다. 반면 위와 같은 Type2의 함수들은 y축을 고정하고 x에 대해 적분한 면을 다..

일반적인 일변수함수에서 정적분은 다음과 같다.즉 x 영역을 등분한 i번째 좌표인 xi에서의 함숫값과, 가로길이를 곱한 직사각형의 넓이를 더해 리만합을 만든다.이 리만합에서 등분의 갯수를 무한히 늘리면 그래프 밑넓이가 완성된다. 그렇다면 이변수함수에선 어떨까?xy좌표평면 위의 영역 R을 위와같이 표현할 수 있다. 이차원 실수공간에 존재하는 순서쌍 (x,y)에 대해 다음 범위가 성립한다는 의미이다. 그 영역 R과 곡면 그래프 f(x,y)로 둘러싸인 부분의 부피는 아래 식과 같이 표현한다.삼차원 실수공간의 순서쌍 (x,y,z)에 대해, 밑면 영역은 R에 속하고, f(x,y) 이하의 모든 z값을 취하면 입체의 부피가 된다. 이제 밑면 사각형 R을 쪼개보자.x축은 i번째, y축은 j번째라고 하고, (i,j)번째 ..

맥스웰은 다음 네가지 식을 합쳐 맥스웰 방정식을 완성해냈다.가우스 법칙 : 정전하로부터 전기장이 발생한다.자기에서의 가우스법칙 : 자기장은 폐곡선을 이루며 자기홀극은 존재하지 않는다.패러데이 법칙 : 변화하는 자기장은 전기장을 만든다.앙페르 법칙 : 변화하는 전기장은 자기장을 만든다. 정지/등속/가속하는 전하가 만드는 장을 생각해보자.정지한 전하 주위에는 정전기장 E만 존재하고 , B는 존재하지 않는다.등속운동하는 전하 주위에는 전기장 E와 자기장 B가 존재하지만, 패턴을 유지한채로 이동만 하므로 전파되는 전자기파는 없다.반면 가속 전하 주위에선 전기장이 뒤틀려 시간에 따라 변하고, 이 전기장이 변하는 자기장을 만든다. 이 두 장이 서로를 계속 유도하며 공간을 가로질러 자체적으로 퍼져나가는데, 이 파동을..

[교류와 직류]19세기 이전, 전류를 분배할 때 직류를 사용할지 교류를 사용할 지 경쟁이 있었다. 직류의 경우, 전압을 쉽게 올리고 내릴 수 없었기 때문에, 소비자가 가정에서 사용하는 전압 그대로 발전소에서 송전을 해주었어야 했는데, 낮은 전압으로 필요한 전력을 내려면 전류가 많이 필요했다.송전선에서의 전력 손실은 P=I^2R로 전류 제곱에 비례했기 때문에, 손실이 많고 송전거리도 짧았으며 비효율적이었다. 반면 교류는 변압기를 통해 전압을 쉽게 높이고 낮출 수 있었다.동일한 전력을 내야할 때, 송전 시 전압을 높이면 전력손실을 줄일 수 있었다. (참고로 이 전압은 발전소에서 쏴주는 송전전압이지, 송전선 양단의 강하전압이 아니다.)AC 시스템은 이러한 특징으로 먼거리 송전이 가능하고 경제성이 뛰어났기에 전..