벡터장의 정의는 위와 같다.
공간상의 어느 점 (x,y,z)에 대응되는 벡터의 방향과 세기를 나타내는 함수를 벡터장 이라고 하며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 P,Q,R 은 해당 좌표에서 벡터의 xyz성분 크기를 의미하므로 스칼라함수임에 주의하자.
벡터장을 F(x,y,z) 대신 F(x)라고 표현하기도 한다. 여기서 x는 우리가 보고자 하는 지점 (x,y,z)의 위치벡터이다.
예시를 들어보자.
원점에 질량 M이 놓여있을때 공간상에 놓인 질량m에 작용하는 중력장을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
x는 관찰지점의 위치벡터이다. x는 |x|x^ 이므로 분모는 크기의 제곱이 되고, 해당 지점의 중력 벡터 방향은 위치벡터 방향과 같고 세기는 우리가 익히 아는 만류인력의 세기이다. 그림으로는 다음과 같이 나타난다.
[Gradient Fields]
우리는 2변수 스칼라 함수의 그래디언트를 다음과 같이 정의했다.
즉 ∇f 라는것은, 어떤 삼차원 곡면의 해당 x,y 지점에서의 x방향으로 자른 미분계수와 y방향으로 자른 미분계수를 성분으로 갖는 벡터로,
곡면 위 어떤 지점의 모든 방향에서의 도함수를 대표하는 벡터이다.
이 그래디언트 벡터는 x,y에 대해 벡터값 ∇f를 반환하므로 이 경우 그래디언트는 그 자체로 이차원 벡터장이다.
만약 스칼라함수가 3변수 함수라면 그래디언트는 다음과 같고, 이는 삼차원 벡터장이다.
* 참고
- 등고선과 그래디언트는 항상 수직이다. 등고선 접선 방향의 벡터 u에 대한 방향도함수는 다음과 같은데, 이 내적값이 0이기 때문이다.
- 만약 어떤 벡터장이 임의의 함수 f의 그래디언트 벡터장으로 표현된다면 이 벡터장은 보존장이고, f는 퍼텐셜 함수이다.
[선적분]
지금까지 단일적분은 구간 [a,b] 위의 그래프를, 이중적분은 영역 위의 그래프를 적분했다.
선적분은 임의의 곡선 C 위에서 그래프를 적분하는 방법을 배운다.
우선 곡선위의 x,y를 t라는 매개변수로 표현하자.
위치벡터로 나타내면 다음과 같다.
이제 시간 t를 여러구간으로 쪼개서, 곡선요소 si의 길이와 그때의 함숫값을 곱하자.
극한을 취해
길이요소를 익히알던 값으로 바꿔주면
이 선적분값은 기하적으로는 다음 그림을 의미한다.
여기서 x,y 축에 대한 선적분 하고 싶으면 그냥 y=0, x=0을 대입하면 된다.
일 등을 구할때 힘의 x,y 성분 벡터와 길이벡터 ds를 성분 분해한 dx dy 벡터를 곱해 선적분 할 일이 많이 생길것이다. 다음 표기는 알아두자.
또, 위치벡터 r0에서 r1까지 이어진 어떤 직선구간을 t로 매개변수화 하면 다음과 같이 나타낼 수 있음을 기억해두자.
3차원 에서의 선적분은 동일한 원리로 다음과 같다.
이때 루트 항은 r(t) 곡선의 접벡터이므로 간단하게 다음처럼 나타낼 수 있다.
위 결과는 함수 f가 스칼라함수인 경우에 해당한다.
이제 벡터장 F에서의 선적분을 살펴보자.
벡터장의 선적분은 함숫값과 경로 길이의 곱이 아닌, 내적임을 염두에 두자.
한편 힘에 대한 벡터장에서 임의의 곡선경로 C를 따라 움직일때 힘이 물체에 가한 일은 다음과 같다.
[The Fundamental Theorem for Line Integrals]
이제 그래디언트 벡터장이 왜 보존장인지 증명해보자.
어떤 스칼라 함수 f에 대하여, 어떤 곡선 C위에서 그래디언트 벡터장이 한 일은 다음과 같다.
식의 일부를 변경하면
즉, 양 끝 두 지점의 값만 중요하고 사이 곡선의 경로는 적분값에 영향을 미치지 않는다.
따라서 어떤 스칼라 함수의 그래디언트는 항상 보존장이다.
따라서 시작점과 끝점이 동일하면 어느 경로로 진행해도 적분값 같으므로 제자리로 돌아오면 0이다.
이제 한가지 아이디어를 도입하자. 벡터장의 선적분이 경로독립적이라면, 어떤 점 A에서 임의의 점 (x,y)까지 가는 선적분값은 어떤 경로를 쓰든 동일하므로 그 선적분 값을 함수로 취급하는 것이다.
위 정의를 만족하는 함수 f(x,y)를 퍼텐셜 함수라고 한다!
이때 벡터장 F는 퍼텐셜함수 f의 그래디언트가 된다. 그 이유를 밝혀보자.
위와 같은 이차원 벡터장 F에서 각 성분함수 P와 Q가 어떤 함수 f의 편도함수라면, F는 f의 그래디언트임을 보일 수 있다.
즉 아래조건을 만족함을 보이자.
우선 F가 보존장임을 가정하자. 기준점(a,b)에서 임의의 점 (x,y)로 임의의 경로로 진행할 때, 그 값이 f(x,y)로 같다고 하자.
구간을 두개로 쪼개자. 목표점 x에 도달하기 이전인 x1 지점을 잡고, 고정된 y지점을 잡는다.
C1구간에서의 선적분은 x값에 의존하지 않으므로 x에 대한 편미분이 0이다.
즉
이제 뒤쪽항을 구해보자.
위 식에서 y값이 고정되어 있으므로 dy=0이다 . 따라서
이 항을 x에 대해 미분하면 그대로 튀어나온다. 즉
완전히 동일한 과정을 y에 대해서도 수행하면
결론적으로 벡터장 F의 성분함수 P,Q가 스칼라함수 f의 그래디언트임을 밝혀낼 수 있다.
따라서 보존장 F는 퍼텐셜함수 f의 그래디언트이다.
한편, 어떤 벡터장이 보존장일 조건은 다음과 같다.
보존장이면 P,Q가 어떤 함수 f의 편도함수이므로 다음이 성립한다.
혼합편미분 교환법칙에 의해
따라서 보존장인 벡터장은 다음을 만족해야한다.
이때, 벡터장이 정의된 영역 D에 정의되지 않은 구멍이 없는 단일연결 영역이어야만 한다.
구멍이 있는 경우 모든 경로에 대해 선적분이 동일한 경로 의존성이 깨질수 있기 때문이다.