Calculus 2

[Calculus] Integral in General Regions - 0 끼우기 트릭

이전 글에서 우리는 바닥 영역 R이 직사각형인 경우를 살펴보았다.이제는 바닥영역 D가 일반적인 모양일 때 이중적분을 정의해볼 것이다. 핵심아이디어는 다음과 같다. 바닥영역 D를 감싸는 직사각형 R을 설정하고, D 밖에서는 함숫값이 0인 새로운 함수를 정의하고 적분하는것이다.함숫값 0은 부피에 영향을 주지 않기 때문에 이 값은 D 영역의 부피와 같다. 일반적 밑면에 대한 이중적분에는 두가지 타입이 있다.더 단순하게 표현되는 축이 어디냐에 따라 Type1과 Type2로 나뉜다. 위와 같은 Type1 함수들의 경우, 구간을 표현할 때 먼저 x값을 고정하고 y에 대해 적분한 면을 다시 단순한 x축에 대해 펼치는 방식이 더 유리하다. 반면 위와 같은 Type2의 함수들은 y축을 고정하고 x에 대해 적분한 면을 다..

[Calculus] Double integrals over Rectangles - 가로로 세로로 펼치기

일반적인 일변수함수에서 정적분은 다음과 같다.즉 x 영역을 등분한 i번째 좌표인 xi에서의 함숫값과, 가로길이를 곱한 직사각형의 넓이를 더해 리만합을 만든다.이 리만합에서 등분의 갯수를 무한히 늘리면 그래프 밑넓이가 완성된다. 그렇다면 이변수함수에선 어떨까?xy좌표평면 위의 영역 R을 위와같이 표현할 수 있다. 이차원 실수공간에 존재하는 순서쌍 (x,y)에 대해 다음 범위가 성립한다는 의미이다. 그 영역 R과 곡면 그래프 f(x,y)로 둘러싸인 부분의 부피는 아래 식과 같이 표현한다.삼차원 실수공간의 순서쌍 (x,y,z)에 대해, 밑면 영역은 R에 속하고, f(x,y) 이하의 모든 z값을 취하면 입체의 부피가 된다. 이제 밑면 사각형 R을 쪼개보자.x축은 i번째, y축은 j번째라고 하고, (i,j)번째 ..