[Calculus] Integral in General Regions - 0 끼우기 트릭

이전 글에서 우리는 바닥 영역 R이 직사각형인 경우를 살펴보았다.
이제는 바닥영역 D가 일반적인 모양일 때 이중적분을 정의해볼 것이다.
 
핵심아이디어는 다음과 같다. 
바닥영역 D를 감싸는 직사각형 R을 설정하고, D 밖에서는 함숫값이 0인 새로운 함수를 정의하고 적분하는것이다.
함숫값 0은 부피에 영향을 주지 않기 때문에 이 값은 D 영역의 부피와 같다.

일반적 밑면에 대한 이중적분에는 두가지 타입이 있다.
더 단순하게 표현되는 축이 어디냐에 따라 Type1과 Type2로 나뉜다.
 

위와 같은 Type1 함수들의 경우, 구간을 표현할 때 먼저 x값을 고정하고 y에 대해 적분한 면을 다시 단순한 x축에 대해 펼치는 방식이 더 유리하다. 

반면 위와 같은 Type2의 함수들은 y축을 고정하고 x에 대해 적분한 면을 다시 단순한 y축에 대해 펼치는 방식이 유리하다.

 
둘중 어느것이 유리할 지는 그때 그때 상황에 달려있다. 
본질적으론 어느 순서로 하든 상관이 없으나, 경우에 따라 계산의 양이 크게 차이날 수 있다.
 
[Properties of Double Integrals]
1. Domain D위의 두 함수 f,g의 합의 부피는 부피의 합과 같다.

2. 함수를 c배하면 부피도 c배 된다.

3. 만약 Domain D 위의 모든 점에서 f가 g 이상이면 f의 부피가 g의 부피보다 크다.
 

4. 도메인 D를 겹치지 않는 도메인 D1 과 D2로 나눌 수 있다면, D1에서의 부피와 D2의 부피의 합이 D의 부피이다.

5. 이중적분은 면적을 재는 기계처럼 사용될 수 있다.

6. 부피의 샌드위치 정리