[Calculus] Tripple Integral

삼중적분을 이해하기 위해 공간상의 직육면체를 다음처럼 정의하자.

등분한 직육면체 조각의 부피는 모두 같다.

이 부피 값에 해당 지점에서의 f(x,y,z)값을 곱해 리만합을 구성한다.

이제 직육면체가 아닌 보다 일반적인 영역에서 삼중적분을 정의해보자. 

이중적분에서와 마찬가지로, 대상영역 E를 포함하는 단순한 직육면체 영역을 설정하고, E 바깥의 함숫값을 0이라고 두는 아이디어를 사용한다.

B는 E를 감싼 박스를 의미한다.

마찬가지로, 삼중적분에도 Type 1과 2가 있다. 푸비니 정리에 따라 삼중적분은 총 6가지 순서가 가능한데, 그중에 어떤 순서가 가장 편리할 지 문제따라 유동적으로 판단하면 된다.

 

삼중적분은 부피 등의 시각적, 기하학적 관점으로 접근하면 오히려 혼란스러워진다.

f(x,y,z)그래프 자체가 시각적으로 표현하기 어려운 4차원이기 때문이다.

따라서 함수를 f(x,y)=z(높이) 라고 해석하는 이중적분과달리 삼중적분의 대상함수 f(x,y,z)는 밀도라고 생각하는게 가장 속편하다.

공간상의 어떤 덩어리에 대해, 덩어리 내부의 모든 지점에 대해 질량밀도가 함수로 정의되어있어 p=f(x,y,z)로 나타냈다고 생각하자.

그 덩어리의 질량은 매 지점의 질량밀도를 덩어리의 부피에 대해 모두 적분한 값이다. 

특히 이 상황의 특수한 경우는 다음과 같다.

어떤 덩어리의 내부영역 E에 대해 모든 지점에서의 밀도가 1이라면, 그 밀도함수 1=f(x,y,z)를 부피에 대해 적분한 값은 그냥 부피가 될 것이다.

 

[Tripple Integral in Cylindrical Coordinates]

원통 좌표계에 대해 잠시 짚고 넘어가자.

어떤 그래프들은 직교좌표계가 아닌 원통좌표계로 표현하는게 더 간단할 때가 있다.

다음과 같이 공간상의 점을 r,세타,z 로 표현하는 방식이 원통좌표계다.

 

원통좌표계 (r,theta,z) 를 (x,y,z)로 좌표변환하면 다음과 같이 표현하면 된다.

직교좌표계 (x,y,z) 를 (r,a,z)로 좌표변환하면 다음과 같이 표현한다.

 

입체의 사영 D가 원통좌표계로 나타냈을때 간단한 함수가 있다고 가정하자.

이 경우, 직교좌표계의 삼중적분 식인 다음을 좌표변환만 해주면 극좌표에서의 삼중적분 식을 유도할 수 있다.

dA는 rdrd세타와 같다.

극좌표 삼중적분

좌표계를 변환할 때, 기존좌표계에 대응되는 부피요소 앞에 붙어 좌표변환 계수의 역할을 하는 항을 야코비안이라고 한다.

dxdydz 가 r*dzdrd세타 가 되었으므로 이 경우 야코비안은 r이 된다.

 

 

[Tripple Integral in Spherical Coordinates]

이제 구면 좌표계를 살펴보자. 구면좌표계는 공간상의 한 지점을 거리 ρ , xy평면에서의 각도 θ, z축과의 각도 ϕ로 나타낸다.

구면좌표 (ρ, θ, ϕ)를 직교좌표계로 변환하면 다음과 같다.

직교좌표계를 구면좌표계로 변환하면 다음과 같다.

작은 구 조각(Spherical Edge)의 부피를 구해보자.

조금 복잡하지만 원리는 같다. 

빨간 부채꼴 조각의 넓이를 구하고, 세타방향 호의 길이를 곱해주면 된다.

따라서 직교좌표의 리만합에서 좌표변환을 수행하면

최종적으로 구면좌표계의 삼중적분은 다음과 같다.

이 경우 야코비안은 ρ^2sinϕ이 됨을 알수있다!

 

[Change of Variables in Double Integrals]

이제 구면좌표계, 원통좌표계 ,극좌표계 등 특수 좌표계가 아닌 , 일반적인 좌표로의 변환에서 야코비안 행렬을 수식적으로 정의해보자.

연속하고 미분가능한 그래프 S,R, 변환규칙 함수 T에 대해

어떤 uv평면상의 직사각형 S가 다음과 같이 있다고 하자. 이 그래프를 xy평면으로 좌표변환하려 한다.

어떤 임의의 (u,v)점에 대해, 그에 대응되는 xy평면 상의 그래프 위의 값이 있다고 하자.

그러면 새로운 점 x,y를 다음과 같이 표현할 수 있다.

즉 u,v가 어떤 값일 때 각각 x는 어떤 값, y는 어떤값을 가질지 규칙에 따라 배정해주는것이다.

이 T(u,v)값을 위치벡터로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

만약 변환 대상 그래프인 S가 매우 작다면, 변환된 그래프인 R 역시 평행사변형에 수렴할 것이다.

 

uv평면에서 u=u0,v=v0 인 라인이 곡선으로 변환되었다고 생각하자.

그림상에서 r(u,v0)곡선 위는 v값이 일정하므로, r벡터의 u값에 대한 편미분 벡터가 u0,v0의 접벡터가 된다.

u=u0인 상황에 대해서도 마찬가지다.

u0,v0인 지점에서의 접벡터에 u와 v가 끝까지 변했을때의 변화량인 델타값을 곱해주면, 근사한 평행사변형의 가로 세로 길이를 얻을 수 있다.

 

따라서 평행사변형 넓이가 다음과 같다.

앞서 말했듯 기존 좌표의 미소 면적요소에 곱해진 계수가 야코비안이므로, 이 경우 야코비안은 r벡터의 u,v에 대한 편미분끼리의 외적으로 표현된다.

최종적으로, 우리는 uv 좌표계를 xy좌표계로 변환했을때의 야코비안을 다음과 같은 형태로 정의하고, 그 값은 다음과 같다.

[Change of Variables in Tripple Integrals]

삼차원 야코비안 행렬 역시 동일한 방식으로 전개한다.

따라서 해당 좌표변환의 삼중적분은 다음과 같이 표현된다.

예시를 통해 확인해보자.

우리가 앞서 구한 구면좌표계에서의 야코비안을 야코비안 행렬식을 통해 유도해보자.

x,y,z를 구면좌표계 값으로 좌표변환하면 아래와 같고, 행렬식을 계산하면 다음과 같다.

위에서 직접 구한 구면좌표계의 야코비안과 같음을 확인할 수 있었다.