[일반물리학] Electromagnetic Waves - 전자기파,움직이는 전하의 기척

맥스웰은 다음 네가지 식을 합쳐 맥스웰 방정식을 완성해냈다.

가우스 법칙 : 정전하로부터 전기장이 발생한다.
자기에서의 가우스법칙 : 자기장은 폐곡선을 이루며 자기홀극은 존재하지 않는다.
패러데이 법칙 : 변화하는 자기장은 전기장을 만든다.
앙페르 법칙 : 변화하는 전기장은 자기장을 만든다.
 
정지/등속/가속하는 전하가 만드는 장을 생각해보자.
정지한 전하 주위에는 정전기장 E만 존재하고 , B는 존재하지 않는다.
등속운동하는 전하 주위에는 전기장 E와 자기장 B가 존재하지만, 패턴을 유지한채로 이동만 하므로 전파되는 전자기파는 없다.
반면 가속 전하 주위에선 전기장이 뒤틀려 시간에 따라 변하고, 이 전기장이 변하는 자기장을 만든다. 
이 두 장이 서로를 계속 유도하며 공간을 가로질러 자체적으로 퍼져나가는데, 이 파동을 전자기파라고 한다.
맥스웰은 위 사실들로부터 빛의 정체가 사실은 전자기파였다는 사실을 증명해냈다.
 
헤르츠는 1887년, L-C회로(안테나의 원형)를 진동시키며 가속전하를 만들었고, 그 전하로부터 EM파가 나옴을 실험으로 확인했다. 그 EM파의 속도가 빛의속도와 정확히 일치한다는 것을 실험적으로 검증하였다.
 
현대 라디오 송신기는 금속도선을 진동시키며 가속전하를 생성해 EM파를 방출한다.
EM파는 수신기 내부의 전하들을 흔들어 전류를 만들고, 우리는 그 전류를 증폭해 신호를 얻는다.
 
결국 본질적으로 전자기파는 전하의 진동에 의해 발생한다고 볼 수 있다.

전자기파는 진공에서 파장과 관계없이 빛의 속도로 진행하므로 위와 같다.
즉, 빛의 파장을 결정하는것은 빛의 진동수이고, 빛의 진동수는 곧 전하의 진동수와 같다.
따라서 빛의 근원이 되는 전하가 어떻게 진동하느냐에 따라 어떤 파장의 빛이 나오는지가 정해진다.
 

 
[Plane Elctromagnetic Waves and The Speed of Light]
빛이 전자기파라는 사실은 어떻게 알았을까? 그리고 전기장과 자기장은, 파동의 진행방향은 왜 서로 수직할까?
엄밀한 증명은 전자기학에서 미적분을 이용해 진행할테니, 일반물리학 수준에서는 예시를 가정하고 검증하는 방식을 취한다.
 
이를 확인하기위해 평면 전자기파를 가정해보자. 특정 시간에서 평면 전자기파의 파면 왼쪽은 전기장과 자기장이 모두 동일하다.
이 평면파에서 전기장의 가우스법칙, 자기장의 가우스 법칙을 적용해보자.

위와같은 가우스면을 설정해보자.
전기장의 가우스법칙에 의해, 가우스면 내부에 전하가 없으므로 총 플럭스는 0이 되어야만 한다. 따라서 전기장은 x성분을 가져서는 안된다. 만약 가우스면이 평면파의 파면에 걸쳐있다면, 오른쪽 면에는 전기플럭스가 지나가지 않아 총 플럭스가 0이 될 수 없기 때문이다. 
자기장의 가우스 법칙에 의해, 총 플럭스는 0이어야 한다. 마찬가지로 자기장 역시 x성분을 가져서는 안된다.
따라서, 전기장과 자기장은 진행방향에 수직해야한다.
 
이제 패러데이 법칙을 적용해보자.

패러데이 법칙

길이벡터 l의 방향은 반시계 방향으로 설정한다.

도형 efgh의 오른쪽 변 fe에는 전기장이 지나지 않으므로, 전기장의 선적분은 -Ea와 같다.
또한 속도가 c이므로 자기플럭스의 변화량은 Bacdt이고 따라서 다음이 성립한다.

따라서 대입하여 정리하면

즉, 빛의 속도는 전자기파의 전기장과 자기장의 크기 비이다.
 
이제 앙페르 법칙을 적용해보자.

이번에는 변 a가 자기장에 평행하게 폐곡선을 설정했다. 앙페르 법칙은 다음과 같다.

길이벡터 l을 반시계로 두면 좌변의 선적분 결과는 Ba와 같다.

이므로 앙페르 법칙에 대입하면

패러데이 법칙으로부터 E=cB를 얻었으므로, B를 소거하면 

즉 전자기파의 속도는 자기장과 전기장 세기의 비율이며, 그 값이 진공의 유전율과 투자율로 표현된다.
그리고 놀랍게도 이 속도는 진공에서의 빛의 진행속도와 같다.
이 밖에도 반사,굴절,회절,간섭,편광,파동성 등 우리가 아는 빛의 모든 특성들이 전자기파의 특성들과 일치해 맥스웰은 빛의 정체가 전자기파라고 예측했고,
이는 후에 헤르츠 등의 실험으로 검증되었다.
 
우리가 알아낸 전자기파의 핵심특성 네가지는 다음과 같다.
1. 전자기파는 횡파(transverse wave)다.
전기장 E와 자기장 B는 모두 진행방향에 수직이며, E와 B역시 수직이다.
2. 전기장 세기와 자기장 세기는 항상 일정한 비율을 갖는다.
그 비율 E/B가 바로 빛의 속도이다.
3. 진공에서 모든 전자기파의 속도는 일정하다.
4. 전자기파는 기계적파동과 달리 매질이 필요없다.
진공상에서도 전기장과 자기장이 서로를 만들며 전파되기 때문이다.
그 외,
둘 이상의 전자기파는 전기장과 자기장이 선형적으로 벡터합 된다.

전자기파는 편광 (Polarization)현상이 나타난다.
전기장은 한 축 상에서 위아래로만 진동하는 파동이 아니라, 진행방향 x성분을 제외한 y,z축 두 성분의 벡터가 합쳐진 합벡터의 진동이 전기장의 진동이므로 전기장 벡터는 원을 그리며 움직일 수도 있다.
이 때 전기장 벡터의 진동 양상을 편광이라고 한다.
전자기파를 발생시키는 전하의 진동 경향이 직선진동이면 선형편광이, 원형진동이면 원형편광이 발생한다.
예컨대 전기장이 y방향으로만 진동하면 y 편광 전자기파,
원형으로 회전하며 진동하면 원편광 전자기파이다.
자연광은 여러 원천에서 나온 전자기파의 합성파이므로 그럼 편광이 일정하지 않고 무작위로 섞여있는 비편광 상태이다.
편광판을 통과하면 한 축의 전기장을 전부 흡수하고 다른 한 축의 전기장만 투과 하므로, 원래 전자기파의 편광상태가 무엇이었든 선형편광된 전자기파만 통과된다.
 
[Derivation of the Electromagnetic Wave Equation]
미분을 이용해 전자기파의 파동방정식과 속도 v를 보다 엄밀히 유도해보자.
그 전에, 일반적인 파동은 다음과 같은 파동방정식을 만족시킴을 알고가야한다.

 
 
위 그림과 같이, x값에 따라 장의 세기가 달라지는 평면파가 있다고 하자.
사각형 efgh를 설정하고, 패러데이 법칙을 적용하자.

길이벡터는 반시계 방향으로 한다.

따라서 좌변의 선적분 값은 

한편, 평면을 지나는 자기선속의 양은 다음과 같다.

자기장은 이차원 벡터 함수 B(x,t)이므로 위 식의 양변을 t에 대해 편미분하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있고,
정리하여 나타내면 다음과 같다.

이번엔 앙페르 법칙을 적용해보자.

전개 과정은 패러데이 법칙과 완전히 동일하므로 생략하고, 결과만 나타내면 다음과 같다.

 
처음 패러데이 법칙에서 얻은 식을 x에 대해 다시한번 미분하고 2번째 식을 대입해서 정리하면 다음과 같다.

패러데이법칙에서 얻은 식을 한번 더 미분

앙페르 법칙에서 얻은 식을 대입하여 정리

그 결과, 전자기파의 파동방정식을 일반적인 파동방정식 형태로 정리할 수 있게 되었다! (임의설정한 부호는 물리적으로 판단해 중간에 제거한다.) 
따라서 전자기파의 속도가 다음과 같고, 이는 진공에서의 빛의 속도이다.

[Fields of a Sinusodial Wave]
지금까지 우리는 전기장/자기장 함수를 일반적인 함수로 나타내 맥스웰 방정식을 전개해왔다.
그렇다면 그 함수는 무엇일까? 현실에서 대부분의 전자기파는 사인파 형태를 띤다.
시간에 대해서도 사인함수, 공간에 대해서도 사인함수 형태로 퍼져나간다.
식으로 나타내면 다음과 같다.
시간에 따른 변화를 보고싶다면 한 x지점을 찍어서 t에 따라 크기를 보고,
공간에 따른 변화를 보고싶다면 한 시점을 찍어서 x에 따라 크기를 본다.

 
물속에서 네모난 판자를 위아래로 흔드는 모습을 상상해보자.
판자 표면의 모든 점은 함께 움직이므로, x값이 같다면 y-z평면상의 모든 점은 동일한 위상을 보이므로 파면(위상이 같은 점)이 평면을 형성한다.
그러나 실제 전하는 점에 가까워 구면파를 형성한다.
하지만, 충분히 멀리서 바라보면 구면파의 표면도 평면파로 취급할 수 있으니 해당 절에서는 다루기 쉬운 평면파를 해석하는것으로 한다.

한편, 전기장과 자기장, 파동의 전파방향은 모두 직교하므로 다음이 성립한다.

이 때 파동의 전파방향 x벡터의 방향이 포인팅 벡터의 방향이다. 포인팅 벡터를 전자기파가 전달하는 에너지와 운동량을 나타낸다. 
 
또, 전기장이 아무리 복잡한 편광으로 움직이더라도 결국은 사인파로 나타나며, 전기장과 자기장은 항상 위상이 같다!
따라서 다음이 항상 성립한다.

이때 모든 x,t에 대해 전기장과 자기장이 일정한 비율을 가짐을 알 수 있다. 이것이 바로 빛의 속도이다.
 
만약 파동이 반대방향으로 진행하는 경우 어떻게 표현할까?
파동이 +x방향으로 진행한다는건, 위상이 일정한 어떤 점 x가 점점 +x 방향으로 이동한다는 이야기이다.
즉, kx-wt=c 라고 할 때 x=(c+wt)/k 라고 나타낼 수 있으므로, 위상이 일정한 어떤 점 x가 시간에 대해 속도 w/k로 이동한다는 말이 된다. 따라서 이 속도부호가 바뀌도록 식을 쓰면 된다.

 [Electromagnetic Energy Flow and the Poyning Vector]
매질에서의 전자기파 속도는 다음과 같다.

대부분의 비자성 물질의 Km값은 1에 가까우므로, v는 sqrt(K)에 반비례하며, 이 값이 바로 굴절률의 정체이다.
K값은 유전상수이다.
 
전자기파가 지나가는 진공 공간의 에너지 밀도는 다음과 같다. 

Bc=E를 대입하면 다음과 같다.

즉, 전자기파가 통과하는 공간의 에너지는 자기장에 의한 에너지와 전기장에 의한 에너지가 1:1 비율로 저장된다.
매질이 존재하는 경우 e0대신 매질의 유전율 e를 대입하면 된다.
유전율은 진공에서가 가장 작으므로, 부도체 매질에 대해 유전율이 클수록 에너지 밀도가 커진다.
즉, 매질이 에너지를 더 많이 저장한다. 한편 빛의 속도는 더 느려진다.
 
 
이제 포인팅 벡터에 대해 알아보자.
포인팅 벡터란, 전자기파가 매질에 전달하는 단위면적당 에너지 유속이다.
어떤 평면파에 대하여 매질 내 어떤 영역의 에너지 변화량 dU는 에너지밀도 u에 부피변화량 dV를 곱한값과 같으므로 다음과같이 나타낼 수 있다.

이때 단위면적에 시간당 흐르는 에너지의 양을 S라고 하자. 면적을 A라고 잡으면 

전기장과 자기장은 직교하므로 정리하면 크기는 항상 다음과 같다.

이를 에너지 흐름 밀도라고 한다.
이 에너지 흐름의 방향은 전자기파의 진행방향과 같으므로 벡터 형태로 다음과같이 나타낼 수 있다.

따라서 이 포인팅 벡터를 면적에 대해 적분한 값이 매질의 해당 면을 지나간 에너지 흐름의 양이다.
 

위 두 벡터를 실제로 집어넣어 외적해보자. 벡터부분은 외적하여 x방향이되고, 그 크기는 아래와 같다.

cos 제곱 그래프의 시간평균은 1/2이다. 
따라서 어떤 지점 x에서 시간에대한 평균 포인팅 벡터 크기는 다음과 같다. 

다양한 동치표현들은 아래와 같다.

 
전자기파는 에너지 뿐 아니라 운동량도 갖는다.
단위부피당 운동량 dp/dV를 다음과 같이 표현한다. 자세한 증명은 생략한다.

즉 전자기파의 운동량 밀도는 포인팅 벡터의 크기인 에너지 흐름 밀도를 광속의 제곱으로 나눈 값이다.
 
단위 면적당 운동량 전달률은 다음과 같이 나타내며 이를 복사압이라고 부른다.

포인팅 벡터값 S를 시간평균 I로 두면 다음과 같다.

전자기파가 어떤 면적에 완전히 흡수되면 위 식과 같은 복사압을,
완전히 반사되면 아래 식과 같은 복사압을 가진다.
 
이 복사앞은 태양돛을 단 우주선을 밀어낼 수도 있고, 천체 내부에서 중력붕괴를 막는 압력을 발생시키기도 한다.
 
이제 전자기파가 정상파를 만드는 경우를 분석해보자. 정상파가 생성되는 경우 두 전자기파가 공진한다고 한다.
 
전자기파가 도체 표면에 부딪히면 표면 전기장을 즉시 상쇄해 0이 된다.
반사파는 전기장 0에서 시작해 진행하던 파동과 겹쳐져 정상파를 만든다.
 
들어오는 전기장을 다음과 같이 정의하자.

반사파는 크기가 같고 위상이 정반대이며 진행방향도 반대여야 하므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(참고로 위상이란 괄호 내부의 전체 값을 말한다. 파동의 상태가 현재 어떤 진행상황에 있는지를 의미한다.
예컨대 시간이 일정할 때 공간이 파장만큼 진행했다면 위상은 2pi 늘었어야 하고,
공간이 일정할 때 시간이 주기만큼 지나면 위상이 2pi 늘었어야한다.
기준점보다 공간이 파장만큼 진행하고 시간이 주기만큼 지났다면 위상은 4pi 늘어야한다.)

두 전기장을 합치면

삼각함수 덧셈정리로 정리하면

즉 합성파는 kx가 0, pi, 2pi....이다. k=2pi/파장 이므로 즉

위 지점에서 node(정점)을 가지고

위 지점에서 최대점을 가지는 정상파를 형성한다.
동일한 과정으로 자기장에 대해서도 수행하면 sin대신 cos 함수가 들어가므로,
정상파에서 전기장과 자기장은 동위상이 아니라 90도만큼의 시간적 위상차를 가진다.
뿐만아니라 공간적으로도 lambda/4 만큼의 위상차를 갖는다.
즉 정상파에서는 전기장과 자기장의 동위상이 완전히 깨지게 된다.
 
정상파의 물리적 의미는, 전기장과 자기장에 위상차가 발생해 평균 포인팅 벡터가 0이 된다는 것이다.
즉 정상파의 경우 에너지를 전달하지 못하고 제 자리에서 진동하게 된다.
 
이제 도체 평판 두개로 이루어진 cavity(공진기) 를 살펴보자.
공진기 내부에서는 정상파가 형성된다고 가정하고 시작한다.
앞서 말했듯 도체 평판에 닿은 전자기파의 전기장은 0이 되어야 하므로, 첫번째 평판 x=0과 두번째 평판 x=L에 대해 다음이 성립한다.

정상파의 전기장은 위와 같고, 전기장이 0이 되는 node는 다음 조건을 만족할 것이다.

여기서 L은 전기장이 0이 되는 node 지점의 x좌표이다.
k=2pi/lambda 이므로,

즉 반파장의 배수인 지점들에서 node가 발생한다.
마지막 지점인 L도 역시 node여야 하므로, cavity 공간의 길이가 반파장의 배수가 아니라면 내부에서 정상파가 만들어지지 않아 공진이 일어나지 않는다. 이렇게 되면 파동이 반사와 간섭을 반복하며 출렁이다가 소멸하게 된다.
이 공진현상을 발생시키려면 cavity 내부의 공간 길이 L에 대해 반파장 배수 관계를 갖도록 주파수를 조절하여 파동을 발생시키면 된다. 주파수에 따라 서로 다른 node 패턴을 갖게 될 것이다.
전자레인지나 안테나, 와이파이 등에서 특정지점의 신호가 강하거나 약하게 잡히는 것이 바로 이러한 공진효과 때문이다.