[일반물리학] Electromagnetic Induction - 자석흔들기

[전자기유도]
1830년대 패러데이(Faraday)와 헨리(Henry)가 수행한 다양한 실험을 통해 다음 사실이 밝혀졌다.

1. 코일과 자석이 상대적으로 움직일 때만 전류가 흐른다.
   • 코일이 가만히 있고 자석을 움직이거나, 자석이 가만히 있고 코일을 움직이거나, 둘의 상대적 위치가 변할 때만 유도전류가 생긴다.
   • 둘 다 멈춰 있으면 전류 없음.
2. 유도전류의 크기는 변화의 ‘속도’에 비례한다.
   • 더 빨리 움직일수록 전류가 더 크게 생긴다.
   • 코일 면적을 더 빨리 줄이거나 늘려도 전류 증가.
3. 유도전류의 방향은 변화의 방향에 따라 결정된다.
   • 면적을 줄이면 A 방향 전류 → 면적을 늘리면 반대 방향 전류
   • 자석을 가까이하면 한쪽 방향, 멀어지면 반대 방향
4. 변하는 것은 ‘자기장 자체’일 수도 있고, ‘자기장이 관통하는 면적’일 수도 있다.
   • 코일을 찌그러뜨리거나(면적 변화)
   • 코일을 회전시키거나
   • 코일 감은 횟수를 늘리거나 줄이거나
   • 이런 경우에도 전류가 생김 → 중요한 건 자기선속의 변화
5. 자기선속 ΦB가 일정하면 전류는 절대 생기지 않는다.
   • 자기장 값이 일정하더라도 코일을 움직여 상대적 위치가 바뀌면 ΦB가 변함 → 전류 발생
   • 반대로 아주 강한 자기장이어도 ΦB 일정하면 전류 없음
6. 유도전류의 크기는 회로 저항에 반비례
   • 같은 유도기전력이 생기면 저항이 큰 코일일수록 전류는 작아짐 → 옴의 법칙 그대로 적용

이제 수식으로 표현해보자.
어떤 면A를 통과하는 자기 플럭스의 양은 다음과 같이 정의된다.

유도기전력 E는 근본적으로 다음과 같다.

유도기전력은 자기플럭스의 변화를 방해하는 방향으로 흐르는 성질(렌츠의 법칙)이 있으므로 -를 붙여준다.
해당 자기플럭스를 만들기 위해 전류가 흘러야 하는 방향이 양이다.

이 경우, B를 만들기 위해 전류는 반시계로 흘러야 하고 변화율이 양수이므로 전류는 음의방향 즉 시계방향으로 흐른다.
 
루프의 감은수가 N이면 기전력에 N만 곱해주면 된다.
 
[Motional EMF]

자기장에서 직선도선이 움직이면 도선내부의 전하는 자기력에 의해 이동하여 도선 위 아래에 전하가 대전되고, 전위차가 발생한다.
전기장이 점점 커져서 자기력과 평형이 되는 시점까지 전하가 분리된다. (평형이 되면, 전압은 존재하나 더이상 전류가 흐르지 않는다)
더이상 전하가 이동하지 않는 평형 시점에서 다음이 성립한다.

직선 도선의 전기장을 얻었다.

전기장에 길이를 곱해주면 직선도선의 전압이 나온다.

이제 이 직선도선은 전압 vBL의 배터리처럼 기능한다!

이 직선도선으로 폐회로를 만들어 이동시키면 전체 회로에 전류가 흐른다. 이 폐회로의 기전력은 vBL이다.
직선도선을 배터리로 해석할 수도 있고, 다음처럼 패러데이 법칙으로 유도할 수도 있다.

L은 도선길이, x는 이동변위

[Induced Electric Field]
지금까지 우리가 다룬것은 자기장 내부에서 도선이 움직이는 경우였다.
또는, 도선 근처에서 자석이 움직이는 경우 상대성 원리에 의해 전하가 이동하는것으로 해석할 수 있다.
그러나 도선 내부에 존재하는 솔레노이드가 자기장 변화를 일으킨다면 자석과 코일의 상대적 움직임이 없어도 전류가 흐른다. 어째서일까?
변화하는 자기장이 주변에 새로운 전기장을 형성하기 때문이다.
일반적인 정전기장은 방향이 일정하므로 경로를 한바퀴 돌아 제자리로 돌아올때 경로에 대한 내적값의 적분이 0이므로 전위차가 0이지만, 원형으로 형성되는 전기장은 경로에 대한 내적값이 0이 아니어서 비보존적이므로 도선에 기전력을 발생시킨다.
도선 근처에서 변화하는 자기장에 의해 발생하는 기전력은 다음과 같은 선적분으로 표현되고, 자기선속 변화율과같으므로 다음이 성립한다.

이제 이해를 돕기위해 원형 도선 내부에서 솔레노이드의 자기장이 변화하는 단순한 상황을 적용해보자.
원형도선이라면 대칭성에 의해 도선 위 모든 점에서의 유도전기장 크기가 같고, 방향이 길이벡터와 같으므로 다음과 같이 표현가능하다.

따라서 유도전기장 세기는 위와같이 표현가능하다.
자기선속 변화율을 측정가능한 물리량으로 바꿔 표현하면 다음과 같다.

따라서

dI/dt는 솔레노이드의 전류변화율이다.

[Eddy Current]
Eddy Current란 와전류 라는 뜻이다.
금속 덩어리가 자기장 속을 지나거나 금속 주변 자기장이 변화하면 금속내부에 소용돌이 모양의 유도전류가 생기는데 이를 와전류라고 부른다. 이 유도전류는 자속변화를 방해하는 방향으로 흐르므로 물체의 운동을 제동하는 역할을 한다.
실생활에서는 자기장을
방출하여 금속에 발생되는 와전류에 의한 자기장 변화를 감지하는 장치를 만드는데 활용된다.

금속탐지기는 와전류 원리를 이용한다.

[Displacement Currend and Maxwell's equation]
지금까지 우리는 변하는 자기장이 유도 전기장을 만듦을 배웠다.
맥스웰이 완성한 전자기학은 대칭성을 띠고 있으므로, 변하는 전기장이 자기장을 만듦을 보일 수 있다.
(이동하는 전하가 만드는 자기장을 말하는 것이 아니다! 전하 이동 없이 전기장의 변화만으로 자기장이 변한다는 뜻이다.)
사실 기존의 앙페르 법칙은 치명적인 모순을 갖고 있다. 다음 상황을 생각해보자.
앙페르 법칙이란, 임의의 폐곡선 위에서 자기장을 경로에 대해 선적분한 값이 그 폐곡선을 포함하는 임의의 면을 통과하는 전류의 양에 비례한다는 의미이다. 
그러나, 커패시터에서 이 정의가 문제를 드러낸다.

원형 폐곡선을 포함하는 평평한 면과 그릇모양의 오목한 면을 잡아보자. 커패시터 사이의 영역에서는 전류가 흐르지 않으므로, 오목한 면을 통과하는 전류는 0이다. 그러나 평평한 면을 통과하는 전류는 ic로 존재하고 있다.
즉, 두가지 방식으로 구한 값이 서로 다른 모순이 발생한다.
이를 해결하기 위해 맥스웰은 변위전류(Displacement Current)라는 개념을 도입했다.
 

증명은 생략!

이 변위 전류는 실제로 전자가 이동하는 전류가 아니라, 전기장의 변화에 의해 만들어지는 가상의 전류이다.
이 변위 전류의 도입 덕에, 앙페르 법칙이 다음과 같이 수정되었고 기존의 모순을 해결할 수 있었다.

즉, 도선의 실제전류 ic와 커패시터 사이 공간에서의 변위전류 id가 모두 자기장을 형성하는 원인이 된다.
 

실제 원형 커패시터에서 변위전류 개념을 적용해보자.
원형 경로를 지나는 진짜 전류는 없지만, 전기장이 변하고 변위전류가 존재하므로 진짜 전류가 있는 것 처럼 행동한다.
앙페르법칙에 의해 다음이 성립한다.

즉 r에대해 선형적으로 증가하는 자기장이 형성된다.
 
[맥스웰방정식]
맥스웰은 다음 네 개의 방정식을 하나로 묶어 전자기학을 완성했다.

1. 가우스 법칙 (전기) : 정전하는 전기장의 원천이다.
2. 가우스 법칙 (자기) : 자기장은 항상 폐회로 형태이며 자기홀극은 존재하지 않는다.
3. 패러데이 법칙 : 변하는 자기장은 전기장을 만든다.
4. 앙페르-맥스웰 법칙 : 변하는 전기장은 자기장을 만든다(= 변위전류)

맥스웰이 네 개를 전부 최초로 발견한 건 아니지만,
그중 변위전류(displacement current) 항을 직접 추가한 것이 가장 큰 공헌이다.
이 변위전류 항을 넣어야만 전자기파의 존재가 자연스럽게 도출된다.

전기 가우스 법칙

자기 가우스법칙

패러데이 법칙

앙페르 맥스웰 법칙

전자기학에 대한 가장 본질적인 의미를 포함한 위 네가지 식을 맥스웰 방정식이라고 한다.
이 식들을 종합해 전자기파의 존재를 예측할 수 있었다.
나중에 다루겠지만 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장에 대해 거의 대칭적인 형태를 갖는다.
변하는 자기장은 전기장을, 변하는 전기장은 자기장을 만들며 스스로 진행하는 파동이 바로 빛의 본질이다.