[Magnetic Field]
전기장은 어떤 위치에 전하 q를 가져다 놓고 그 전하가 받는 힘을 관측해서 정의한다.
마찬가지로, 자기장도 어떤 위치에 '움직이는' 전하를 가져다 두고 그 전하가 받는 힘으로 부터 정의한다.
다시말해 자기장 B는 그 자체로 측정 가능한 물리량이 아니라 움직이는 전하가 받는 힘으로부터 정의되는 양이므로 자석만 놓고는 자기장을 정의할 수 없다.
자기장은 두 경우에 의해 만들어진다. 움직이는 전하 또는 전자스핀/원자 자기모멘트가 그것이다. 후자는 결국 원자 단위에서 전자의 스핀에 의해 만들어지는 미시적 전류이므로, 결론적으로 자기장은 전류에 의한 현상이다.
[Magnetic Forces]
그렇다면 자기장이 움직이는 전하에 가하는 힘은 어떻게 정의되는가?
실험을 통해 다음 사실들이 관찰되었다.
1. 움직이는 전하가 받는 힘은 전하량 q의 크기에 비례한다.
2. 힘의 크기는 자기장 B에 비례한다.
3. 힘은 전하의 속도 v에 비례한다.
4. 자기력은 전하의 속도벡터 v와 자기장 벡터 B에 모두 수직이다.
따라서 자기력의 정의는 다음과 같다.
자기력의 방향은 속도벡터와 자기장 벡터에 수직이다. 따라서 자기력은 속도의 크기를 바꾸지 않고 방향만 바꾸므로 전하는 원운동 또는 나선운동을 하게 된다.
(자기장 벡터와 속도벡터가 수직인 경우 원운동을, 수직이 아닌경우 성분별로 분해되어 원운동 + 직진운동 하므로 나선운동이 된다)
위 그림은 흔히 브라운관 모니터라 불리는 CRT 모니터다.
전자빔이 화면의 형광물질과 충돌하여 빛을 내는 방식으로, 전기신호를 이용하여 음극선을 조절한다.
해당 화면에 자석을 가져다 대면 화면이 일그러지는 것을 볼 수 있는데, 이현상이 바로 전자가 받는 자기력 때문이다!
[ Magnetic field lines are NOT lines of force]
절대 착각하지 말아야 할 것이 있다. 자기력선 (Magnetic Field lines)은 절대 자기력의 방향을 가리키지 않는다는 것이다.
Magnetic Filed가 가리키는 방향은 해당지점에서 나침반의 바늘이 가리키는 방향일 뿐, 자기력의 방향이 아니다.
전기력선은 정의상 전기력과 전기장의 벡터 방향이 같으므로 전기력선이 곧 전기력의 방향이 되지만,
자기력과 자기장의 방향은 결코 같지 않다. 자기력의 방향은 자기장 뿐 아니라 전하의 속도 v의 방향이 함께 결정하기 때문이다.
나침반이 자기력선을 따라 배열되는것은 자기력에 의한것이 아니라 자기장과 평행하기위한 토크를 받기 때문이다.
자기력선은 단 두가지 정보만을 알려준다.
1. 해당 지점에서 자기장의 방향 ( 나침반의 배열 방향)
2. 자기장의 세기 ( 자기력선의 촘촘한 정도)
[Magnetic Force on a Current-Carrying Conductor]
움직이는 전하 하나에 가해지는 자기력을 표현할 수 있게 되었으니, 이제 도선 전체에 가해지는 자기력을 구해보자.
개별 전하의 자기력을 합하기만 하면 된다!
위 식을 참고하라. 길이 l, 단면적 A, 전하밀도 n (개수/m^3), 전자 드리프트속도 vd 일때 도선안에 있는 전하의 개수는 nAl이다.
따라서 개별 전하의 힘을 모두 합하면 개수를 곱한값이 되므로 다음과 같다.
전류의 정의에 의하면 다음이 성립한다.
(+ 전류는 벡터가 아닌 스칼라량이므로, 위처럼 치환하려면 vd의 벡터방향을 길이벡터 l이 넘겨받아야한다.
vd*i = l*i 로 바꾼것.)
대입하면 최종적으로 다음이 성립한다.
[Force and Torque on a Current Loop]
자기장에 놓인 사각 루프 도선의 토크를 계산해보자. 모터를 상상하면 된다.
각 도선 a,b 에 작용하는 힘의 총합이 루프의 합력이고 이 값이 0이므로, 이 루프는 병진운동하지 않는다.
+-F'은 작용선이 동일하므로 토크를 만들지 않는다.
따라서 토크를 발생시키는 힘은 +-F뿐이고, 회전축은 y가 된다.
전기쌍극자는 양쪽에 반대전하가 거리를 두고 떨어져 있는 물체이다.
전류가 흐르는 도선은 자석이 아니지만, 마치 N극과 S극이 떨어져있는 자석처럼 행동하므로, 이러한 구조를 자기쌍극자라고 부른다.
F의 크기는 자기력 공식에 의해 다음과 같다.
루프에 작용하는 토크는 두 a 도선의 토크의 합이므로 다음과 같다.
정리하면, 사각루프의 토크는 전류, 자기장, 면적의 곱과 각도 세타의 사인값으로 표현된다.
이때 사각루프 전류와 면적의 곱 IA 값을 magnetic dipole moment , magnetic moment(자기 쌍극자 모멘트, 자기모멘트)라고 부르며, 이는 어떤 물체가 자기장 내에서 토크를 발생시키는 능력을 나타내는 물리량이다.
토크크기를 다음과 같이 간단하게 표현한다.
해당 식을 더 간단히 표현하면 자기모멘트를 벡터로 나타내 외적꼴로 표현하면 된다.
토크의 방향은 일반적으로 그렇듯 회전축 방향을 나타낸다.
자기모멘트 벡터의 방향은 전류 방향으로 감싸쥔 오른손 법칙을 따른다. 그렇게 정의해야 위 식들이 성립하기 때문이다.
위 일련의 식들은 도선이 u벡터와 B벡터가 같아지는 방향으로 정렬하려는 성질이 있음을 시사한다!
감쇠가 존재할 경우 사각루프는 u와 B가 일치하는 상태로 감쇠진동하다가 정지할 것이다.
[Potential Energy of Magnetic Dipole]
어떤 물체의 토크가 한 일은 토크와 각도변화량의 곱이다.
따라서 Magnetic Dipole이 미소각도만큼 회전할때 추가된 일은 다음과 같다.
외력이 해준 일은 퍼텐셜에너지 변화량의 반대부호이므로 다음과 같다.
Magnetic Dipole에서의 토크 공식을 적용하고 적분하면 다음과 같다.
따라서 퍼텐셜에너지는 위 식의 우변 첫항으로 나타낼 수 있다.
위 식이 갖는 의미는 무엇인가?
자연은 퍼텐셜에너지가 낮은 상태로 자발적으로 변화한다. 즉 theta=0도 일때 -uB로 최소 퍼텐셜 에너지를 가지므로,
루프는 각도가 0도가 되는 방향으로 움직이려한다.
[Various Loops]
지금까지 우리는 사각루프의 경우를 분석했다.
그렇다면 루프의 모양이 원, 오각형, 별이면 어떻게 해야할까? 루프가 한겹이 아니라 여러 도선이 겹친 형태라면 ?
임의의 모양의 루프는 작은 사각형의 집합으로 볼 수 있으므로, 우리가 얻어낸 공식들은 임의의 루프 모양에 대해서도 성립한다.
만일 도선이 여러번 감겨있다면, 자기모멘트 값에 도선의 감긴 횟수 n만을 곱해주면 된다.
솔레노이드의 경우 여러번 감긴 도선과 완전히 동일하지만 단면을 논하기 애매하므로 혼동을 피하기 위해 솔레노이드 길이축 벡터 방향을 자기모멘트 벡터 방향으로 취한다.
[Nonuiform Magnetic Fields]
지금까지 우리가 배운것은 자기장이 일정할 경우를 가정한 것이었다. 이 경우 자기장 속의 도선은 알짜힘이 존재하지 않으므로 병진운동하지 않았다.
그러나 실제 자석은 자석 근처에서 자기장이 강하고 멀어질수록 방사형으로 자기장이 감소하므로, 도선의 알짜힘이 0이 아니어서 병진운동하게 된다.
도선 위 미소 지점에서의 미소 힘 dF는 도선 방향벡터와 자기장의 외적방향이므로 힘의 방향을 알 수 있다.
또는 자기모멘트 방향이 자기장 방향과 반대면 미는 힘, 일치하면 당기는 힘임을 이용해도 좋다.
도선 각 지점이 받는 자기력에서 방사성분은 상쇄되고 +x,-x 성분만 남으므로 도선은 오른쪽 또는 왼쪽으로 힘을 받는다.
즉 다시말해, 자석에 물체가 끌려오는것은 자기장이 불균일 하기 때문으로, 자기장이 균일하다면 물체는 끌려오지 않고 회전운동을 하게 된다.
[Magnetic Dipoles and How Magnets Work]
전류가 흐르는 도선이 자석에 의해 자기력을 받는건 알겠는데, 전류가 흐르지 않는 철은 왜 자석에 끌려가는걸까?
우리는 앞서 전류가 흐르는 도선이 마치 자석처럼 행동한다는 사실을 배웠다.
자석과 도선은 무엇이 다른걸까?
우선, 자석은 원자단위에서 보면 일종의 도선과 같음을 짚고 넘어가자.
전자에 대한 가장 단순한 모델은 스핀을 가진 회전하는 하전된 공이라고 생각하는 것이다. 회전하는 전하의 축을 따라 생기는 자기장은 전류 고리와 비슷하며, 바로 이 스핀 때문에 전자와 원자는 자기 모멘트를 가진다. (이 비유는 도움이 되긴 하지만 완전히 정확한 것은 아니다. 전자는 실제 ‘도는 구체’가 아니다.)
자화되지 않은 상태의 물체는 원자 자기모멘트들이 랜덤하므로 총 자기모멘트는 0에 가까워 전류가 흐르지 않는 도선과 같다.
물체가 자기장 근처에서 자화되면, 원자들의 자기모멘트가 자석 자기장 방향으로 배열되며 물체는 전류가 흐르는 도선과 같은 상태를 띠게 되고 자석에 반응하게 된다.
어떤 물질들은 이 효과가 강하게 나타나는 반면 어떤 물질들은 약하게 나타나기도 하고, 심지어는 자기모멘트가 외부자기장의 반대로 배열되기도 한다.
자화된 물체를 가열하거나 충격을 가할 경우, 배열이 흐트러지면서 자성이 풀리기도 한다.
[The Direct-Current Motor]
자기력을 이용해 모터를 돌려보자.
초기상태에서 모터는 반시계방향으로 회전하다가, 90도 근방에서 u와 B가 일치하면 토크가 0이되고 관성에 의해 마저 돌아갈 것이다. 만약 전류의 방향이 그대로라면 토크가 0인 지점을 기준으로 왕복하겠지만, 용수철이 달린 브러시를 부착해 반바퀴 회전했을때 배터리에 연결되는 도선이 바뀌도록 해주면 전류 방향이 바뀌고 한쪽 방향으로 계속 회전하는 전동기를 만들 수 있다.
[The Hall Effect]
홀 효과란 전류가 흐르는 도체에 자기장을 가했을 때 전류와 자기장에 수직인 방향의 홀 전압이 발생하는 현상을 일컫는다.
전류의 본질은 전자의 움직임 이지만, 전류를 흐르게 하는 실질적 운반자(Carrier)는 경우에 따라 전자일수도 있고 양전하일수도 있다.
(대부분의 금속도선, n형 반도체 : 전자 / p형 반도체 : 양공)
얇은 판 모양의 도체에 전류가 흐르는 상황을 상상해보자.
전자가 이동하든 양전하가 이동하든 무관하게 동일한 전류와 자기장에서 전하는 윗방향의 자기력을 받는다.
힘을 받은 전하들은 판의 상단과 하단에 전위차를 만드므로 자기력과 반대되는 방향의 전기력이 전하에 가해진다.
자기력과 전기력이 평형이 되는 순간까지 전하들이 이동하며, 더 이상 전하가 이동하지 않을 때 상단과 하단의 전위차를 홀 전압 이라고 한다.
만약 전자의 이동이 주가 되어 전류가 흐른다면, 전하의 드리프트 속도는 전자의 이동방향과 같으므로 판의 상단에 -전위, 하단에 +전위가 축적된다.
반대로 양전하의 이동이 주가 되어 전류가 흐른다면 전하의 드리프트 속도는 전류의 방향과 같으므로 판의 상단에 +전위, 하단에 -전위가 축적된다.
다시말해, 판의 위 아래 전위 부호를 보면 전류의 흐름이 전자의 효과인지 양전하의 효과인지 알 수 있다.
여러가지 실험근거에 의해, 전류의 본질은 전자의 이동인 것으로 검증되었만 전자의 빈 공간인 정공은 마치 실재하는 양전하처럼 행동하기도 한다.
홀 효과는 이러한 정공(양공, hole)의 가상의 입자의 존재를 실험적으로 보여준다.
홀 전압에 도달해 더이상 전하의 이동이 일어나지 않을 때 다음이 성립한다.
전류밀도 J는 면적당 전류의 양이다. 따라서 다음이 성립한다.
대입하여 정리하면 다음이 성립한다.
홀 효과를 이용하면 도체의 전류밀도 J, 자기장 B, 홀전압에 의한 전기장 Ez, 기본전하량 q 만으로 도체의 전하밀도를 간단하게 측정할 수 있다!
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