[Magnetic Field of a Moving Charge]
우리는 앞서 자기장 내에서 전류가 흐르는 도선이 받는 힘에 대해 다뤘다.
그렇다면 자기장은 어떻게 만들어지는가?
전기장과 달리 자기장은 오직 움직이는 전하에 의해 발생한다.
한개의 전하가 만드는 자기장을 먼저 이해해보자. 증명은 일반물리학 단계에서는 생략한다.
u0는 자기상수 값으로, 4pi*10^-7 Tm/A 값을 갖는다.
개별전하는 거리의 제곱에 반비례하고, 전하량 q와 전하속도 v에 비례한 자기장을 형성한다.
방향은 속도와 위치벡터의 내적 방향이다.
v와 r벡터의 외적방향이므로, 진행 방향을 축으로 하는 원형 모양의 자기장을 형성한다.
전하가 가속운동 하는 경우 자기장이 매우 복잡해지므로 지금은 전하가 등속하는 경우만 생각하도록 하자.
일반적인 경우 전하의 가속도는 무시할만큼 작으므로 대략적으로 일치한다.
전하가 만드는 자기장에서 자기상수 u0와, 전기장 공식에서의 전기상수(유전율) e0 전자기학의 근본상수로, 둘은 서로 밀접한 관계가 있다.
위 값은 정확히 진공에서의 빛의 속도와 일치하는데, 이는 전기장과 자기장이 본질적으로 하나의 실체임을 암시한다.
자세한건 전자기학에서 다시 다루도록 한다.
전하 하나가 만드는 자기장을 구했으니 이제 도선 전체가 만드는 자기장을 구해보자.
도선의 미소길이 dl에 대해 작은 구간에서의 전하량이 만드는 자기장을 적분하는 아이디어를 사용한다.
전하밀도에 미소부피를 곱하고 전하량을 곱해주면 작은 구간에서의 총 전하량 dQ를 얻는다.
따라서 이 dQ가 만드는 자기장의 크기 dB는 다음과 같다.
dQ대신 nqAdl을 대입하고 전류 I로 나타내면 다음과 같다.
실제 자기장은 벡터형태이므로 벡터 form으로 변형하고 적분하면 도선에의한 자기장은 최종적으로 다음과 같다.
(미소자기장 dB에 관한 위 식을 Biot-Savart 법칙이라 한다.)
적분 결과는 상황에 따라 다르므로 직접 계산하자.
[Magnetic Field of a Liniar Current]
이제 비오 사바르 법칙을 이용해 가장 기본이 되는 직선도선에 흐르는 전류에 의한 자기장을 계산해보자.
dl=dy이고, sin값을 얻었으니 그대로 비오사바르 법칙에 대입하면 다음과 같다.
적분하면 다음과같이 유한길이 도선의 자기장 공식을 얻는다.
만약 도선이 무한한 길이를 갖는다면 극한을 취해서 다음과 같은 무한길이 도선의 자기장 공식을 얻는다.
[Force Between Parallel Conductors]
이제 우리는 긴 직선 도선이 만드는 자기장을 구할 수 있게 되었으므로,
한 도선이 만든 자기장이 다른 도선에 어떤 힘을 가하는지를 계산해보자.
이 효과는 실제로 매우 중요하다.
왜냐하면 전기·전자 장치에서는 전류가 흐르는 도선들이 서로 매우 가까이 배치되는 경우가 많기 때문이다.
무한히 긴 직선도선의 자기장 크기는 다음과 같다.
전류가 흐르는 길이 L짜리 도선이 자기장에서 받는 힘은 ILXB이므로 B에 위 값을 대입하면 다음을 얻는다.
이는 두 도선이 서로 밀거나 끌어당기는 힘의 크기를 나타낸다. 서로 같은 방향 전류면 당기는 힘을, 반대면 미는 힘을 가한다.
F/L 값을 통해 u0값을 정의할 수 있다.
참고로, 옛날에는 1A를 각각 1A를 갖고 무한도선으로부터 1m떨어진 도선의 단위길이당 힘으로 정의했다. (현재는 1C/s)
도선이 서로 끌어당기는 힘은 도선 간 뿐 아니라 한 도선 내부에서도 발생한다. 도선내부의 전하의 흐름은 모두 같은 방향이므로 자기력으로 인해 서로 끌어당기는 힘이 발생하 도체나 플라즈마를 안쪽으로 압축하는 효과가 발생하는데, 이를 핀치효과라고 한다.
[Magnetic Field of a Circlular Current]
다음과 같은 원형도선의 축 상에서 자기장을 계산하자.
비오 사바르 법칙에 의해 미소 전류요소 dl이 가하는 자기장이 다음과 같다.
원은 대칭적이므로 By성분은 상쇄되고, Bx 성분만 남는다. Bx성분을 원 둘레에 대해 적분하면 다음과 같다.
dl을 적분하면 원의 둘레이므로, 원형도선 중심축 상의 거리 x인 점에서 자기장은 다음과 같다.
특히, 원형도선의 중심에서 자기장은 다음과 같다.
이제 도선을 여러개 중첩해보자. 그냥 루프개수 N을 전체적으로 곱해주기만 하면 된다.
이제 자기모멘트 값을 사용해 식을 단순화 해보자.
자기모멘트는 IA이다. 루프 개수가 N이고 원이므로 해당 도선의 자기모멘트가 다음과 같다.
위를 이용해 정리하자.
참고로, 원형도선의 자기력선은 도넛모양의 폐곡면을 형성한다.
[Ampere's Law]
전기장에 가우스 법칙이 있다면, 자기장에는 앙페르 법칙이 있다.
앙페르 법칙의 의미는 다음과 같다.
임의의 폐곡선 경로의 둘레에서 B·dl을 적분하면, 그 값은 폐곡선을 포함한 임의의 면이 감싸고 있는 전류의 양 × μ₀와 같다.
엄밀한 증명은 역시 전자기학에서 다시 보도록 하고, 가장 단순한 무한 직선도선의 경우에 대해 앙페르 법칙을 검증해보자.
도선을 둘러싼 폐곡선의 임의의 점은 거리 r, r벡터의 법선과의 각도 세타인 지점으로 나타낼 수 있다.
따라서 다음과같이 바꿔쓸 수 있다.
대입하여 적분하자. r(세타)가 사라지므로 단순한 형태가 나온다.
즉 폐곡선의 모양과 무관하다.
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