[일반물리학] Inductance - 자기장 용수철?

[Mutual Inductance M]
 

위 그림과 같은 상황을 상상해보자. 
코일1에 흐르는 변화하는 전류가 코일2에 자기플럭스의 변동을 만들고, 코일2에 유도전류가 흐르게 된다.
즉 플럭스는 전류에 비례하는데, 이 때 계수를 인덕턴스라고 하며, 코일 1과 코일2 어디를 기준으로 봐도 계수가 동일하므로 상호 인덕턴스 라고 부른다. 즉 상호인덕턴스는 한 코일의 전류 변화가 다른 코일의 전류변화를 얼마나 강하게 가하는지 보여주는 값이다.

 

패러데이 법칙으로 좌변을 바꿔주면

반대방향도 마찬가지이므로 M21 = M12와 동일.
 
상호인덕턴스 값은 코일의 감은수, 모양과 크기, 상호 위치 배치, 코어의 자기투자율 등 코일 자체의 기하학적, 재료적 특정에 의해서 결정된다.
 
[Self Inductance L]
하나의 코일내에서 전류변화는 자기장 변화를 만든다. 이 자기장 변화는 다시 자신 내부에 유도기전력을 만든다.
즉, 어떤 코일의 전류가 변하려고 하면 자체적으로 그 변화에 저항하는 기전력을 만드는데, 이 저항능력의 크기가 인덕턴스 L이다.
self inductance의 정의는 다음과 같다.

단위 전류당 자기플럭스 변화율이 자기 인덕턴스 L의 정의이다.
위 식을 미분하고 패러데이 법칙을 적용하면 다음과 같다.

다시말해, 코일 전류가 변화할때 저항하는 기전력을 얼마나 만드는지 나타내는 계수가 인덕턴스이다.
자기 인덕턴스 역시 상호 인덕턴스와 마찬가지로 코일의 기하적, 재료적 특성에 의해 결정된다.
 
[인덕터의 전압]
인덕터 내부에는 변하는 자기장에 의한 비보존 전기장이 발생한다.

기본적으로 '전위차' 라는 개념은 전기장이 보존적임을 가정한 물리량이다.
하지만 인덕터 내부에는 비보존 전기장이 흐르므로 인덕터에 걸리는 전압을 정의하기가 곤란해진다.
 
인덕터 내부에는 보존적 전기장과 비보존적 전기장이 모두 존재한다.
매 순간 코일 내부에서 두 전기장의 합은 0이 되어야 하므로 다음이 성립한다.

인덕터 내부의 비보존 전기장을 적분하면

두 전기장이 같다고 했으므로

좌변은 단자의 전압을 의미한다.

 
따라서 결론적으로 인덕터 단자의 전압을 다음과 같이 정의한다.

다시말해 인덕터 전압크기는 인덕터가 만드는 저항 유도기전력의 크기와 같다.
 
[인덕터에 저장된 에너지]
인덕터는 전류가 변할 때만 전압을 가진다. 그 전압은 L*di/dt와 같다. 
인덕터가 연결된 회로의 전류가 I라고 할 때, 전류가 0에서 부터 I까지 도달하는동안 인덕터가 받아들인 전력은 다음과 같다.

dt를 이항해주면 다음과같다.

적분하면 인덕터에 저장된 에너지를 구할 수 있다.

이는 용수철에 저장된 탄성퍼텐셜 에너지와 동일한 형태이다.
 
한편 인덕터의 에너지는 인덕터 주변 공간의 자기장에 저장된다.
따라서 공간의 에너지 밀도 u=U/V를 정의할 수 있고, 다음과같이 정리할 수 있다.

이 값은 자기장이 존재하는 공간 전체의 에너지 밀도를 의미하므로,
u값에 부피를 곱해주면 자기장에 저장된 에너지를 구할 수 있다.
 
[R-L 회로의 전류 증가]

전원과 저항, 인덕터가 직렬로 연결된 다음 회로에서 전류를 시간에 대해 나타내보자.
인덕터가 있으면 전류가 0에서 특정값으로 바로 점프할 수 없고 흐르는데 시간이 걸린다.
어떤 시점에서의 전류 i에 대해 다음이 성립한다.

인덕터의 전압은 전류가 변할때만 발생한다.

 
키르히호프 법칙에 따르면 폐회로의 전압변화 합은 0이므로 다음이 성립한다.

di/dt에 대해 정리해보자.

배터리 연결 직후, 전류는 0이다. i가 0이 되므로 연결직후 전류변화속도는 다음과 같다.

그렇다면  R-L회로에서 전류가 최대로 도달하는 값은 몇일까?
전류가 더이상 변하지 않는 시점에 di/dt 값은 0이므로 정리하면 다음과같다.

다시말해, 전류의 최종값은 저항과 전원이 결정하는것이고 인덕터는 영향을 주지 않는다.
 
이제 전류를 시간에 대한 함수로 나타내기 위해 미분방정식을 풀어보자.
변수를 분리하면 다음과 같다.

이제 양변을 적분하고 i에 대해 정리하면 R-L회로의 전류 i(t)는 다음과 같은 지수함수 형태를 띤다.

이때 시간상수를 L/R로 둔다.

시간이 tau만큼 지나면 최종전류의 63%가 흐른다.

처음 구했던 di/dt를 t에 대한 식으로 바꾼 형태는 위와 같다.
t=0일때와 t가 무한대로 갈 때를 생각해보면 위에서 논했던 처음 전류속도, 최종 전류 속도를 다시 확인할 수 있다.
 
KVL 식에 전류 i를 곱해 전력 형태로 식을 나타내면 아래와 같다.

즉, 배터리의 전력중 일부는 저항에서 열로 소모되고 일부는 인덕터에 자기장 에너지로 저장된다.
 
[R-L회로의 전류 감소]

배터리에 연결된 스위치 S1을 열고 S2를 닫아보자.
전류는 0이 되려 하지만 인덕터가 방해하기 때문에 즉시 0으로 떨어질 수 없다.
KVL을 적용하면 다음과 같다.

이 미분방정식을 풀면 다음과 같다.

R-L 회로의 전류 증가와 감소시 시간상수가 동일한게 포인트.
 
전력 관점에서 바라보자. KVL 양변에 i를 곱하면

우변의 왼쪽 항은 저항에서 소모되는전력, 오른쪽 항은 인덕터가 방출하는 전력이다.
방출하는 경우 di/dt가 음수이므로, 인덕터가 방출하는 전력이 모두 저항에서 열로 소모될 것이다.
즉 인덕터는 자기장에 에너지를 저장했다가, 전류가 감소할 때 에너지를 방출하는 소자이다.
이때, 방출하는 전류의 방향은 기존과 동일하다.
 
[L-C회로]
커패시터와 인덕터를 직렬로 연결한 L-C회로를 생각해보자.

커패시터를 충전한 상태에서 회로를 닫으면, 회로의 전압은 커패시터와 인덕터 둘 뿐이므로 KVL에서 다음이 성립한다.

즉 두 소자의 전압 크기는 매 순간 같으며, 부호는 서로 반대이다. 서로가 서로의 변화를 똑같은 크기만큼 방해한다.
커패시터가 방전할 때 발생한 전력은 모두 인덕터에 저장된다.
인덕터는 기존 전류 방향을 유지하기 때문에 양단에 -, + 극을 만들고 이 극은 커패시터를 기존과 반대로 충전한다.
L-C 회로는 위 과정을 진동하며 반복한다.
 
[L-C 회로의 전기적 진동]
커패시터와 인덕터의 전압은 둘다 전류 방향의 반대이다. 따라서 음수가 붙고  KVL에 대해 다음이 성립한다.

i는 dq/dt와 같으므로 다음이 성립한다.

위 식의 형태는 용수철의 단순조화운동과 동일한 형태를 갖는다.
잠시 단순조화운동의 해를 생각해보자.

 

증명생략

각진동수 w는 시간 1초당 위상이 몇 rad 진행하느냐를 나타내며, 주기는 w의 역수에 비례하므로 
각진동수가 크다는건 진동주기가 짧고 진동속도가 빠름을 의미한다.
용수철상수 k가 클수록 빠르게 진동하고, 질량 m이 작을수록 빠르게 진동한다.
 
LC회로에서 진동은 용수철의 진동과 완전히 동일한 형태이므로, 대응관계가 다음과 같다.

L-C회로의 각주파수가 다음과 같음을 기억하자!

 
[L-C 회로의 에너지]
용수철에 매달린 물체를 평형위치에서 A만큼 변형시키고 놓으면, 계의 역학적에너지가 보존되므로 운동에너지와 탄성퍼텐셜 에너지의 합이 일정하고, v에 대해 다음이 성립한다.
\

마찬가지로 L-C회로에서 커패시터 완충시 전하량을 Q라고 하면, 커패시터의 에너지가 보존되고,
인인덕터와 커패시터 에너지로 분배되므로 다음이 성립한다.
 

 

역시 단순조화운동에서의 속도와 대칭적인 형태의 식이 등장함을 알 수 있다.
L-C 회로와 SHM 상황에서의 대칭성을 정리하면 다음과 같다.

 
 
[L-R-C 회로]
저항이 없다면 L-C 회로는 무한히 진동할 것이다. 하지만 현실에는 저항이 존재하므로, 진동이 점점감소하다가 0으로 수렴할 것이다. 이는 damped harmonic oscillator( 감쇠 조화 진동자)와 동일한 경향이다.

배터리를 제거하고 L-R-C회로를 형성한 뒤, KVL을 적용해보자.

i=dq/dt이므로 다음이 성립한다.

R이 작은경우 미분방정식의 해는 다음과 같다.
R값이 커지거나 특정값이 되는경우 미분방정식의 해가 달라질 수 있으나 여기에선 증명하지 않는다.

위식은 아래 (a) 그래프와 같이 진동하며 0으로 수렴하는 형태를 가진다.
 

 
따라서 감쇠 상황에서 각진동수 w는 다음과 같다.