[일반물리학] Alternating Current - 교류의 승리!

[교류와 직류]
19세기 이전, 전류를 분배할 때 직류를 사용할지 교류를 사용할 지 경쟁이 있었다. 
직류의 경우, 전압을 쉽게 올리고 내릴 수 없었기 때문에, 소비자가 가정에서 사용하는 전압 그대로 발전소에서 송전을 해주었어야 했는데, 낮은 전압으로 필요한 전력을 내려면 전류가 많이 필요했다.
송전선에서의 전력 손실은 P=I^2R로 전류 제곱에 비례했기 때문에, 손실이 많고 송전거리도 짧았으며 비효율적이었다.
 
반면 교류는 변압기를 통해 전압을 쉽게 높이고 낮출 수 있었다.
동일한 전력을 내야할 때, 송전 시 전압을 높이면 전력손실을 줄일 수 있었다. (참고로 이 전압은 발전소에서 쏴주는 송전전압이지, 송전선 양단의 강하전압이 아니다.)
AC 시스템은 이러한 특징으로 먼거리 송전이 가능하고 경제성이 뛰어났기에 전세계 송전 시스템의 표준이 되었다.
 
[Phasors and alternating currents]
AC 전원은 시간에대해 사인파 형태로 전압을 공급하며 형태는 다음과 같다.

각주파수는 초당 몇도 돌아가나, 삼각함수 몇 rad 진행하나를 나타냄

전류도 동일한 형태를 가진다.

직류전류가 한방향으로 이동하며 일을 하는것과 달리, 교류전류는 앞뒤로 진동하며 일을 전달한다.
참고로 한국은 약 50Hz, 각주파수 314rad/s 의 교류전원을 사용한다.
 
 
이 사인파는 시간에 대해 계속 변하는 파동이기 때문에, 매 시간마다 삼각함수를 표현하는데  불편함이 있다.
따라서 단위원의 회전, 즉 회전하는 벡터인 Phasor의 x축 사영으로 삼각함수를 표현한다. 
이렇게 하면 시간의 변화를 회전으로 처리할 수 있어 간단해진다.
 
[정류와 RMS]
교류전류를 갈바노미터로 측정할 때, 절반은 양의 전류가, 절반은 음의 전류가 발생하므로 전압에 의한 평균토크가 0이 되어 전압이 제대로 측정되지 않는다. 
이 문제를 해결하기 위해 다이오드를 사용할 수 있지만, 이러면 절반의 전류는 측정되지 않는다.
브릿지 다이오드 등을 사용하면 마치 절대값을 씌운것과 같은 full-wave rectified current가 발생한다.

이는 측정 시 이야기고, 실제 사용시에는 정류하지 않고 교류전류를 그대로 사용한다.
 
교류전류의 전류는 변화하는 sin파 형태이므로, 실제 전력 크기를 반영하려면 전체 전류를 대표하는 실효값이 필요하다.
단순히 평균값을 사용하면 전류 진폭 I의 약 63.7%가 되지만,  이는 효과적인 실효값이 아니다.
따라서 우리는 RMS(Root Mean Square)값을 AC 전류의 실효값으로 사용하는데, 이 값은
다음과 같다.
다시말해,최대 전류(진폭)가 I인 교류전류가 만드는 전력의 효과는 I/루트2 인 직류전류와 같다는 뜻이다. 

RMS는 제곱값을 적분으로 평균낸 값에 루트를 씌워 절댓값 처리하는 방식으로 구한다.

 
[Resistance and Reactance]
교류회로에서도 옴의법칙 V=IR은 성립한다.
저항 R의 양단 전압은 다음과같다.

여기서 IR은 전압진폭 V에 해당한다.
또한, 저항이 있더라도 전압은 전류와 완전히 같은 위상이므로 저항은 위상차를 만들지 않는다.
 
 
반면, 인덕터는 전류의 흐름을 방해하므로, 교류회로에서 전압이 전류보다 90도 앞선다.

교류회로의 전류는 위와 같다. 인덕터 양단의 전압은 다음과 같다.

di/dt를 대입해주면 전압은 다음과 같다.

cos 각변환 공식을 적용하면,

 
즉 인덕터의 전압은 위상이 전류보다 90도 앞선다. (그래프가 pi/2 왼쪽으로 평행이동)
참고로, 인덕터 단독 회로이므로 회로 전체의 전압이 곧 인덕터 양단 전압이다.
그래프로 보면 아래와 같다.

즉, 전류 크기가 감소할때는 인덕터 전압이 증가하고 전류크기가 감소할때는 인덕터 전압이 감소함을 알 수 있다.
Phasor diagram으로 나타내면 다음과 같다.

이 때, 인덕터 전압의 전압진폭은 

여기서 wL을 유도 리액턴스(inductive reactance)라고 하며, 전압진폭은 아래와 같다.

전류에 대해 정리하면 다음과 같다.

다시말해, 유도리액턴스가 클수록 (전류가 빠르게 진동할수록, 인덕턴스가 클수록) 같은 전압이어도 전류가 적게 흐른다.
즉 전압 진폭이 V로 같더라도 교류전원의 진동수에 따라 전류의 세기를 조절할 수 있다는 뜻이다.
 
즉, 유도 리액턴스란 인덕터가 '교류 전원'에 연결되어 있을때, 전류 변화를 얼마나 강하게 방해하는가를 나타내는 물리량이다.
 
[교류회로에서의 커패시터]
교류전류는 다음과 같다.

 
적분하면 전류가 흐르면서 축적되는 전하량이 다음과 같다.

커패시터의 전압은 q=Cv이므로, 커패시터 양단 전압을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(참고로, i=Cdv/dt와 q=Cv는 동치이므로 전자의 식으로 부터 출발해도 된다.)

cos으로 바꾸면 다음과 같다.

즉, 커패시터 양단의 전압은 전류보다 위상이 90도 늦다.

이때 전압진폭은

여기서 용량 리액턴스(capacitive reactance)를 1/wC로 정의한다. 그러면 다음이 성립한다.

같은 전압진폭에서, 용량리액턴스가 클수록 전류가 적게 흐르고 용량리액턴스가 작을수록 전류가 크게흐른다.
즉 용량리액턴스는 교류회로에 커패시터가 전변화에 얼마나 저항하는지 나타내는값이다.
용량리액턴스는 wC에 반비례하므로,
고주파 전류일수록, 커패시턴스가 클수록 전류가 크게 흐른다.
저주파 전류일수록 ,커패시턴스가 작을수록 전류가 작게 흐른다.
 
 
저항, 인덕터, 커패시터에 대해 특징들을 정리하면 다음과같다

리액턴스는 마치 저항과 같은 역할을 하는 값임에 주목하자. 
 
[L-R-C Series Circuit]
이제 인덕터, 저항, 커패시터가 직렬로 연결된 회로에서 전압을 계산해보자.

KVL에 의해 전원전압은 R,L,C 전압의 합과 같으므로, 어느 순간 t에서 회로의 전압은 다음과 같다.

그러나 전압진폭을 구하려면 문제가 생긴다. 
R,L,C의 전압그래프의 위상이 동일하지 않아서, 특정 시점의 값을 다 더하는 것만으로는 회로 전체의 최대전압 값을 알 수가 없기 때문이다.
이를 해결하기위해 우리는 Phasor diagram에서 각 전압값들을 벡터합 하는 방식을 사용한다.
최대진폭이 왜 벡터합인지는 복소해석학에서 다시 다루므로 지금은 받아들이고 넘어간다.

VL,VC,VR은 각각 인덕터, 커패시터, 저항의 전압진폭이다.
VL과 VC는 항상 반대방향이므로 이 세 벡터의 합 V의 크기는 다음과 같다.

 여기서 R-L-C회로의 저항 역할을 하는 루트항을 임피던스 Z 라고 한다.

[The meaning of Impedence and Phase Angle]
임피던스는 물리적으로 무슨 의미를 갖는가?
직류 회로에서 I=V/R이므로 전류는 저항이 가장 적은 경로로 많이 흐른다.
마찬가지고 교류회로 L-R-C 회로에서 I=V/Z이므로, 임피던스가 가장 적은 경로로 전류가 많이 흐른다.
다시말해, 임피던스 값은 교류회로의 저항이다.
 
저항과 다른점이 있다면, 임피던스값은 각진동수에 따라 변하는 값이라는 점이다.

같은 회로여도 교류회로의 진동수가 변하면 회로의 임피던스가 변해 전류가 흐르는 정도가 변할 수 있다. 
교류회로의 이러한 주파수 의존성은 나중에 다시 다루기로 한다.
 
이제 위상각에 대해 알아보자.

위 그림에서 각도 세타는 Phase Angle(위상각)으로,  L-R-C회로의 전압 페이저가 전류 페이저보다 몇도만큼 앞서는지를 나타낸다.
각도 세타에 대하여,

이때, XL>XC면 세타는 0~90도, XL<XC면 세타는 0~-90도임을 알 수 있다.
그리고 XL값과 XC값은 각진동수 값에 의존한다.
즉 다시말해, 교류전류의 각진동수가 몇이냐에 따라 위상차에서 전압이 전류보다 앞설수도, 뒤쳐질수도 있다는 이야기가 된다.
주파수에 대한 이러한 의존성은 역시 뒤에서 다시 다루도록 한다.
 
한편, 우리가 L-R-C 교류 직렬회로에서 도출한 모든 식은 L,R,C 중 일부가 없더라도 적용가능하다.
L-R-C회로는 세 소자가 포함된 회로의 일반화된 형태이기 때문이다.
없는 항의 값은 0으로 두어 제거하면 된다.
 
또, 지금까지 우리가 유도한 식들은 모두 전류진폭, 전압진폭에 대한 식들이었으나 실제 회로에서는 RMS값을 사용한다.
모든 식들에 1/sqrt(2) 를 곱해 rms 전류 , 전압에 대한 형태로 고쳐도 모두 성립한다
 

[교류회로에서의 전력]
어떤 소자에 전달되는 순간전력 p=vi이다.
이제 개별 소자의 전력을 나타내보자.
 
1.저항에서의 전력
저항과 전력은 위상이 동일하므로, vi의 곱을 양의영역에만 존재하고 절반에 대해 대칭인 다음과같은 형태를 갖는다.

즉 평균전력은 VI/2이고, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

다시말하면, 순수저항 회로에서의 평균전력은 rms 전압과 rms 전류의 곱과 같다.
 
2.인덕터와 커패시터에서의 전력

인덕터와 커패시터의 전압은 전류와 90도 위상차를 가지므로, 전력값은 음과 양을 번갈아 나타낸다.
전력값이 양수일때는 인덕터와 커패시터가 에너지를 저장하고, 음수일때는 방출한다.
평균 전력은 0이고, 한주기 전체에서 순 에너지 전달은 0이다.
 
3.일반적인 교류회로에서의 전력
일반적인 R,L,C가 조합된 교류회로에서는 전류와 전압이 위상각 세타만큼 차이가 나므로 다음과같다.

 
삼각함수 항등식을 이용해 정리하면 평균전력을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이때 cos값을 역률(power factor)라고 한다. 이 때 cos 값은 항상 양수이므로 평균전력은 항상 양의 값이다.
역률이 작다는것은 회로가 전력을 많이 받아들이지 못하고 있다는 뜻이므로, 송전선에서 전력손실이 크다는 의미이다.
따라서 부하와 병렬로 커패시터를 연결해 역률을 줄이는 방법을 주로 쓴다. 
 
[Resonance in alternating current circuits]

XL과 XC 는 각진동수 w에 의해 결정된다고 했다.
만약, 어떤 각진동수 w0에 대해 XL과 XC값이 같아진다면 임피던스 값은 R로 최소가 될 것이다.
R-L-C회로에서 전류는 I=V/Z이므로, Z값이 최소일때 전류는 최대가 된다.
이 현상을 공진현상이라고하며,  최대 전류가 흐르도록 하는 이때 각진동수 w0를 만드는 주파수 f를 공진주파수 라고한다.

공진주파수가 될 경우 위 그림에서 VL과 VC과 완전히 상쇄되므로, 회로전체의 전압 V=IZ는 전류 페이저 방향과 같은 방향이 되어 위상각이 0도가 된다.
임피던스, 전류, 위상각 그래프를 나타내면 다음과 같다.

 
공진상황에서 일어나는 현상은 다음과 같다.
첫째로, 전압과 전류가 동위상으로 맞춰진다. 
둘째로, 인덕터와 커패시터에 걸리는 전압 V=IX 값이 매우 커질 수 있다. 그러나 서로 상쇄되므로 외부에서 보면 순수한 저항 회로로 보이지만 실제 전압은 매우 큰 상태가 나타날 수 있다.
셋째로, 공진 상황에서 L과 C가 주고받는 에너지가 최대가 된다.
 
임피던스는 저항과 비슷한 역할을 하므로, 임피던스가 낮은 회로로 많은 전류가 흐른다.
여러 갈래의 회로를 만들어두고 각 회로의 공진주파수를 다르게 설계하면, 특정 공진주파수에서 해당 회로가 활성화 되도록 하는 필터 효과를 구현할 수 있다.
 
[Transformer]
변압기는 교류회로에서만 구현 가능하다.
유도전류는 자기플럭스가 변할때만 발생하므로, 전류가 변하지 않는 직류회로는 유도전류를 만들수 없기 때문이다.
 
한편, 변압기의 철심 Core 는 투자율이 커서 자기장의 경로를 만들어주므로, 1차 코일에서 발생한 자속들이 2차 코일로 그대로 통과하도록 길을 만들어주는 역할을 한다.

1차 코일에서 교류전원에 의해 발생한 전압은 KVL에 의해, 코일 내부에서 유도되는 역기전력과 동일하다.
따라서 1차 유도전압은 다음과 같다.

2차 코일의 유도전압은 다음과 같다.

둘을 나눠주면 자기플럭스 변화율이 약분되어 다음이 성립한다.

즉, 변압기의 코일 감은수 비가 전압의 비가 된다. 이 비율을 변압비 라고 한다.
전압의 변압 비율은 오직 코일의 턴수 비에 의해 결정된다. 턴수 비를 바꾸지 않는 이상 전압의 비를 바꿀수는 없다.
1차 코일의 전압이 더 높은 경우 강압, 1차 코일의 전압이 낮은 경우 승압이라고 한다.
 
이상적인 변압기는 전압을 변환하는 역할만 하지, 에너지를 소모하거나 만들어내지 않는다.
따라서 1차 코일이 만들어낸 전력은 2차가 받는 전력과 동일해야하므로 다음이 성립한다.

따라서, 변압비로부터 전류비를 얻을 수 있다.

발전소에서 생산되는 전기는 6~33kV 정도인데, 이 전기를 154~765kV의 고전압으로 승압시켜 송전소로 보낸다.
송전소에서 지역변전소로 보내진 전기는 강압을 거쳐 가정용 220V 전기로 변환돼 공급된다.
전압비와 전류비는 반비례이므로 전압을 승압시키면 전류는 감소한다.
동일한 전력 P=IV를 보내려고 할 때, 전압이 증가하면 전류가 감소하고,
송전시 전력 손실은 I^2R이므로 결론적으로 전압이 높을수록 전력손실이 감소하므로 송전시 고전압을 사용하는 것이다.