[일반물리학] R-C Circuit

[R-C회로의 충전]

 

R-C회로는 저항과 커패시터가 직렬로 연결된 회로를 말한다.

지금까지 배운 전기회로에서는 전류, 전압이 시간에 따라 변하지 않았지만, 축전기가 개입되는 순간 회로의 전압,전류,전력은 시간에 따라 변한다.

위와같이 기본적인 R-C회로를 생각해보자.

초기에 축전기는 충전되지 않은 q=0인 상태이고, 축전기의 전압은 0V이다.

따라서 저항의 양단 전압은 배터리의 전압과 같다.

따라서 초기 전류

축전기가 충전될수록 전하가 쌓이므로 축전기의 전압이 증가한다. 

KVL에 따르면 배터리, 저항, 커패시터의 전압 합이 0이 나와야 하므로, 커패시터 전압이 증가하면 저항의 전압은 감소한다. 

직류회로이므로 저항에 흐르는 전류가 곧 회로 전체의 전류와 같으므로, 회로 전체의 전류는 다음과 같다.

 

(위) 배터리 기전력, 저항의 전압, 커패시터의 전압 순.

(참고로 KVL을 적용할때는 방향을 임의로 잡고, 고전위-저전위로 향하는 방향을 +로 잡으면 편리함)

 

위 R-C회로의 전류는 처음에 q=0이므로 가장 크고, q가 커질수록 전류가 0에 수렴할 것이다.

즉 완충시 전하량 은 다음과 같다.

완충시 커패시터의 전하량은 정전용량과 배터리 전압의 곱과같다.

돌아가서, 전류는 시간에 대한 함수로 이해할 수 있다. 시간에 대해 전류를 해석하기 위해 i 대신 t를 포함한 동치표현인 dq/dt 를 대입한다.

i=dq/dt 대입.

위 미분 방정식을 변수분리하여 풀면 전하량 q를 t에 대한 함수로 나타낼 수 있다.

전류는 전하를 시간에 대해 미분한 값이므로 위 식을 t에 대해 미분하면

이제 가장 기본적인 R-C회로의 전하량과 전류를 t에 대한 함수로 표현해내는데 성공했다.

 

두 식에서 공통적으로 나타나는 상수 RC값에 주목하라.

커패시터의 충전 전하량 q의 경우, 시간이 t=RC일때 최대전하량의 63.2%가 충전된다.

전류의 경우 t=RC 경과시 초기 전류의 36.8%가 남는다.

따라서 회로의 저항이 클수록 전류가 적게 유입되어 충전이 느리고, 커패시터의 전기용량이 클수록 더 많은 전자를 넣어줘야해서 충전이 느리다.

즉 RC회로의 충전 속도는 바로 이 RC값에 의존하며, 이 값을 시정수 tau 라고 한다.

 

[R-C회로의 방전]

완충된 R-C회로의 배터리를 제거해보자.

스위치를 닫는순간 전류는 커패시터의 양극에서 음극으로 외부회로를 통해 흐른다.

이는 충전시 회로의 전류방향과 반대이다.

해당 회로에 KVL을 적용해보면 다음과 같다. 배터리의 전압 epsylon이 빠진점이 다르다.

마찬가지로 식에 t를 등장시키기 위해서 i대신 dq/dt를 대입해보자.

위 미분방정식을 풀면 아래와 같이 커패시터 전하량의 시간 함수를 구할 수 있다.

t에 대해 미분하여 i(t)를 구하자.

축전기를 충전할 때와 반대방향의 전류가 흐르므로 i(t)값에 -가 붙어 나옴을 확인할 수 있다!

 

충, 방전시의 차이를 정리하면 아래와 같다.

[R-C회로 충전시 전력 소모]

KVL에 의해서 다음 식이 성립한다.

양변에 회로의 순간 전류 i를 곱해보자.

P=VI=I^2R이다.

위 식은 배터리가 공급하는 전력이 저항에서 열로 소모되고, 축전기에 에너지로 저장된다는 의미이다.

참고로, 축전기에 저장된 에너지 공식과, 충전시 전류함수를 이용해 직접 적분을 계산하면 우변의 두 항이 정확히 일치한다.

즉 R-C회로는 충전한 에너지의 정확히 절반이 열로 손실되고 절반만 충전된다는 특징을 갖는다.