공대생 공부노트

삼중적분을 이해하기 위해 공간상의 직육면체를 다음처럼 정의하자.등분한 직육면체 조각의 부피는 모두 같다.이 부피 값에 해당 지점에서의 f(x,y,z)값을 곱해 리만합을 구성한다.이제 직육면체가 아닌 보다 일반적인 영역에서 삼중적분을 정의해보자. 이중적분에서와 마찬가지로, 대상영역 E를 포함하는 단순한 직육면체 영역을 설정하고, E 바깥의 함숫값을 0이라고 두는 아이디어를 사용한다.마찬가지로, 삼중적분에도 Type 1과 2가 있다. 푸비니 정리에 따라 삼중적분은 총 6가지 순서가 가능한데, 그중에 어떤 순서가 가장 편리할 지 문제따라 유동적으로 판단하면 된다. 삼중적분은 부피 등의 시각적, 기하학적 관점으로 접근하면 오히려 혼란스러워진다.f(x,y,z)그래프 자체가 시각적으로 표현하기 어려운 4차원이기 때..

이중적분을 실생활에 어떻게 사용할까? 어떤 평면 철판이 있는데, 이 철판의 밀도(면적당 질량)가 지점마다 불균일한 상황을 가정해보자.작은 조각의 질량은 해당 지점에서의 밀도와 미소 조각의 면적의 곱과 같으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.이것은 전하에 대해서도 성립한다. 전하밀도에 대해 판의 전하량은 다음과 같다.기하적으로는, xy좌표에 따라 밀도의 값을 삼차원 곡면으로 나타냈을때 그 곡면과 밑면 사이 영역의 부피가 바로 그 밑면의 질량(전하량)이 될 것이다. 이번엔 이중적분을 통해 모멘트와 질량중심을 정의해보자.모멘트란 질량과 어떤 축으로 부터의 거리로, 물체를 축을 중심으로 회전시키려는 세기를 의미한다. 어떤 평면위에 임의의 물체가 있을때, 임의로 x,y축을 잡고 x축과 y축에 대한 모멘트를 구해보자..

어떤 함수들은 직교좌표계로 표현하는 것보다 극좌표계로 표현하는것이 간단할 때가 있다.적분 또한 직교좌표계에서 적분하는 방식보다 극좌표계의 적분이 편할때가 있다.예컨대 위 함수와 같은 영역위의 함수를 직교좌표계에서의 적분으로 표현하려면 상당히 복잡한 루트 형태가 등장할 것이다.그렇다면 극좌표계에서의 이중적분은 어떻게 표현해야할까? 위 그림은 극좌표계에서 사각형처럼 생긴 Polar Rectangle R의 모습이다.이 도형을 작은 조각으로 쪼개면 마치 사각형처럼 생겼지만 사각형으로 근사할 수는 없음에 주의하자!반지름 b-a와 각도 B-A를 등분하자.부채꼴 면적 공식에 의해, 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 빼 면적요소의 넓이를 계산할 수 있다.아래 식을 위에 대입하면,여기서 앞의 항은 두 반지름의 절반이다. ri..