[ 미분방정식이란? ]
미지의 함수와 그 도함수, 독립변수 등으로 나타낸 방정식으로, 미지의 함수 y를 해로 갖는다.
변수가 한개면 상미분방정식, 변수가 여러개면 편미분방정식이라 부른다.
방정식으로부터 얻어낸 임의의 상수 c를 포함한 해를 일반해라고 하며, 그 일반해에 초기값을 대입하여 특수해를 특정
할 수 있다. 이런 문제를 초기값 문제라고 한다.
1계 미분방정식을 풀이하는 방법에는 여러가지가 있다.
우선은 변수분리형, 완전미분방정식(적분인자법), 선형미분방정식, 베르누이방정식 등만 기억하자.
[미분방정식 y'=f(x,y)의 기하적 의미]
y'=f(x,y)꼴의 형태는 두가지 기하적 관점에서 해석할 수 있다. 첫번째는 방향장 관점으로, xy 평면상의 (x,y)점에서의 함수 y의 기울기가 y'이므로, 우변의 f(x,y)값을 기울기로 갖는 직선을 모든 점에 대해 대응시켜 그리면 방향장을 얻는다.
미분방정식의 어떤 해 y는 한 초기값에서 시작해 이 방향장을 따라 연결한 그래프가 된다.
또는 3차원 곡면 그래프로 y'을 이해할 수도 있다.
[오일러 방법]
Euler's method란 방향장 y'=f(x,y)로부터 미분방정식의 해를 근사적으로 해석하는 방법이다.
한 초기값이 주어졌을 때, 그 지점에서의 y'에 가로길이 h를 곱하면 y differntial이 나온다. h를 줄일수록 정밀한 근사값을 얻을 수 있다.
[완전상미분방정식]
어떤 다변수함수 u(x,y)에 대해, 모든 변수들의 변화를 고려한 u값의 미분(differential) du를 전미분이라고 한다.
어떤 상미분방정식이 어떤 함수 u(x,y)의 전미분 형태일 때 이를 완전상미분방정식이라고 한다.
미분방정식을 위와같은 형태로 표현해내서 M,N이 어떤 함수의 x,y 편미분인지 찾아내면 u(x,y)를 알아낼 수 있다.
완전상미분방정식의 해는 y가 아니라 u(x,y)이다.
위 조건을 만족하는 u를 찾는것이 목표이다.
조건식(1)과 조건식(2)는 동치이다.
조건식(1)을 적분하면,
적분상수 k(y)와 l(x)를 결정하기위해 조건식(3)을 편미분하고, 그 값이 M또는 N과 같음을 이용할 수 있다.
(편미분을 x에대해 적분하고 그걸 다시 y에 대해 미분하는 구조)
[적분인자]
완전미분방정식 형태가 아닌 방정식의 양변에 어떤함수 F(x,y)를 곱해 완전미분방정식으로 바꿀 수 있다면 이 F를 적분인자라고 한다.
적분인자 F는 x,y에 대한 함수일 수 있지만, 이 경우 상황이 복잡해지므로, F가 x또는 y 하나의 변수에만 의존한다고 가정하고 적분인자를 찾는것을 시도해보면 좋다.
F가 x에만 의존하는 함수라고 가정하면 위 식의 결과는
FQ로 나누고 정리하면 다음을 얻는다.
이제 위 식을 적분하여 정리하면 적분인자 F(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있다. y에 대해서도 동일한 절차를 갖는다.
[선형상미분방정식]
y'과 y의 차수가 1 이하인 경우 선형상미분방정식이라고 한다.
공학적으로는 r(x)를 입력, y를 출력이라 부른다.
y에 대한 상수 r(x)가 0인경우 제차(homogeneous), 0이 아닌경우 비제차라고 한다.
비제차 선형상미방의 적분인자는 x에만 의존한다고 알려져있다.
양변에 F(x)를 곱하면 다음과 같다.
이 좌변이 어떤 함수 (Fy)' 이라고 가정하면 바로 적분할 수 있다.
(Fy)'=F'y+Fy'이므로, Fy'는 이미 있으니 F'y=pFy이면 된다.
따라서 F'=pF이다.
적분하고 정리하면 적분인자는 다음과 같다.
대입하면, 선형상미분방정식의 해는 결과적으로 다음과 같다.
여기서 c는 시스템의 초기조건을 의미하고, r은 외부입력을 의미한다.
[베르누이방정식]
비선형미분방정식을 새로운 함수 u에 대한 선형미분방정식으로 해석한 뒤, y를 우회적으로 구하는 방법이 있다.
미분하고 대입하면
여기서 다시한번 선형미분방정식을 풀어 u를 구하고, 그 u가 y^(1-a)임을 통해 y를 구할 수 있다.