[일반물리학] Electric Potential and Electric Potential Energy

[개요]

-전위는 단위전하당 전기 퍼텐셜 에너지로 공간이 갖는 물리량이다.

-전위차를 전압이라고 한다. 전압이 존재하면 전하는 움직이려한다.

-전위차는 높이에 대응되는 개념이다.

-전기장은 전위가 감소하는 방향이다.

-양전하는 전위가 감소하는 방향으로, 음전하는 전위가 증가하는 방향으로 이동한다.

 

[전기퍼텐셜에너지]

전기력은 보존력이므로 전기력만 작용하는 경우 $\Delta U+\Delta K=0$ 이 성립한다.

전하가 공간상에서 전기력만을 받고 지점 a에서 b로 이동하는 경우 아래 관계가 성립한다.

 

cos세타 * dl이 dr이므로 r에대한 간단한 적분을 수행하면 아래 식과 같다.

 

즉, 전하가 전기력을 받고 a점에서 b점으로 가는 경우 전기력이 전하에 해준 일 $W_{a\rightarrow b}$는 특정 형태를 갖는 값들의 차와 같다.

이 특정 형태의 값을 전기퍼텐셜 에너지로 정의하자.

 

결과적으로 a에서 b로 가는동안 전기퍼텐셜에너지 편화량의 반대부호가 바로 전하가 받은 일이다.

전기퍼텐셜에너지는 전기장에 놓인 전하가 실제로 얼마만큼의 일을 하는지 알기위해 중요하다.

 

 

[전위의 본질]

어떤  source charge q에 대하여 r만큼 떨어진 공간상의 한 지점의 전위는 다음과 같다.

$V=\frac{kq}{r}=\frac{U}{q_{0}}$

쉽게말해 전위가 V인 공간에 전하량 q인 전하를 두면 qV만큼의 전기퍼텐셜 에너지를 가질것이라는 의미이다.

여러 전하에 의한 전위는 개별 전하에 의한 전위의 스칼라 합이다.

 

[전위와 전기퍼텐셜에너지의 차이]

전위는 근본적으로 어떤 공간에 놓는 시험전하 하나에만 관심이 있다.

반면 계의 전기퍼텐셜 에너지의 경우 개별전하가 다른 전하들로 받는 모든 경우의 수의 전기퍼텐셜에너지를 합해 계산한다.

 

[전기장과 전위의 관계]

전하가 a에서b로 이동하는 동안 test charge q0가 받은 일은 위와 같다.

$W_{a\rightarrow b}=-(U_{b}-U_{a})$에 의해 위 식의 양변을 q0로 나누면 아래와 같다.

 

쉽게 말해, 어떤 두 점의 전위차는 전기장이 해준 '일'의 '반대부호'와 같다! (비유적으로 일이라고 하자.)

이는 전기장이 전위가 내려가는 방향으로 형성됨을 의미한다. (전기력이랑은 다른거다! 시험전하의 부호는 여기서 생각하지 않는다.)

더 쉽게 말해보자.

전기장이 뻗어있는 방향으로 나아가면 전기장과 운동방향이 같으니까 '양의 일' 을 한거나 마찬가지므로, 전위는 떨어진다.

+ 전하에서 멀어지면 전위가 낮아지고, -전하로 접근하면 전위가 낮아진다.

 

[ conductor 에서의 equipotential ]

정전상태에서 도체의 내부는 모두 등전위이며 전기장이 0이어야만 한다. 

전하가 존재한다면 반드시 표면에만 존재하며 전기장은 도체 표면에 수직이어야만 한다.

만약 도체 내부 전기장이 0이 아니라면 자유전자들이 끊임없이 움직이므로 정전상태에 모순이기 때문이며, 표면에서 수직이 아닌 성분의 전기장이 존재하면 전하가 이동해버리기 때문이다.

만약 도체 내부에 전하가 존재한다면 도체 내부의 전기장은 0이 될 수 없다. (어찌저찌 잘 상쇄해서 전하 있어도 0 될 수 있지 않을까? 안된다. 자세한건 라플라스 방정식을 통해 증명할 수 있으나 지금은 넘어가자.)

 

[conductor의 cavity]

도체에 cavity가 생기게 될 경우를 생각해보자.

cavity 내부에 전하 +q가 놓이게 된다고 가정하면 도체 내부 전기장이 0이어야 하므로 가우스 법칙에 의해 gaussian surface에서 enclosed charge가 0이 되어야 한다.따라서 도체의 내부 표면에는 -q가 유도된다.

도체 전체는 중성이어야 하므로 도체 외부표면은 +q로 대전된다. 따라서 외부에서 도체의 총 전하량은 +q와 같아 보인다.

 

한편, 만일 cavity를 포함한 도체가 대전되어있고 cavity내부에 전하가 없다고 생각해보자.

이런경우 도체의 내부 표면에 전하가 배치되게 된다면 앞선 가우스 법칙에 의해 도체 내부 전기장이 0이라는 원칙에 모순된다.

따라서 도체 내부표면에는 전하가 생기지 않으며, 이를 차폐 효과라고 한다. (Farraday cage)

자동차에 탄 사람이 번개를 맞아도 감전되지 않는 이유가 이때문이다.

 

[전기장과 전위의 보다 엄밀한 관계]

 

위 두 식은 동치이다. 내적을 계산하면 아래와 같다.

전위 V는 삼차원 스칼라장 V(x,y,z)이므로 전위의 미소변화량 dV는 다음과 같다.

따라서 전기장벡터는 전위의 그래디언트의 반대부호가 된다. 이것이 전기장과 전위의 엄밀한 관계이다.

즉 전기장은 전위가 감소하는 방향으로 놓여있다.