[받아들이고 갈 것]
진동하는 형태의 신호는 본래 사인,코사인값의 합으로 나타낼 수 있다.
그러나 이 형태로 계산하면 계산량이 복잡해지므로 오일러공식을 이용해 단순하게 표현하는 방법을 사용한다.
이렇게 복소지수함수 형태로 나타내면 계산이 간단해진다.
이 경우 신호는 복소지수함수의 실수부 값으로 표현될 수 있다.
즉 복소평면위를 회전하는 벡터의 x축 사영이 바로 신호 값이다.
다음은 신호및시스템의 핵심이 되는 오일러 공식이니 외워두자.
증명은 블로그 링크로 대체한다. (오일러 공식과 이를 유도하는 두 가지 방법)
역과정도 가능하다.
[신호 에너지와 평균파워]
신호란 시간이나 공간에 따라 변하는 정보를 전달하는 함수를 의미한다.
연속시간신호의 에너지는 다음과같이 정의한다. (증명은생략)
이산시간신호의 경우는 다음과 같다.
이것을 시간구간으로 나눈 값을 평균파워 라고 한다.
[연속시간신호의 복소지수신호]
일반적인 복소지수신호는 다음과 같이 나타낸다.
만약 C,a가 실수라면 이 신호는 일반적인 지수함수형태를 가진다.
만약 C,a가 복소수인 경우 정현파(sin wave)신호와 관련이 있다. 이를 이해하기 위해 가장 단순한 형태를 관찰하자.
이 복소지수함수는, 복소평면상에서 어떤 점을 가리키는 크기가 1인 벡터가 회전하는 상황을 의미한다.
오일러 공식에 의해 다음이 성립한다.
역과정으로부터 cos 신호를 복소지수함수로 바꿀수도 있다.
회전의 주기를 알아내보자.
위 식이 성립하면 T는 주기중 하나다.
따라서 위 관계와 동치이다.
오일러공식에 따라 위 식이 1이 되려면 허수부가 0이고 실수부가 1이어야 하니, w0T의 값은 2pi의 정수배가 되어야한다.
따라서 최소 주기 T0(주기중에 가장 작은 양수)는 위와 같이 나타낼 수 있다. (cos의 주기와 같다)
주기 T0를 갖는 모든 복소지수함수를 모으면 이를 고조파(harmonics,주파수의 배수인 파동들)집합이라고 하고 다음과 같이 나타낸다.
이 고조파 집합의 최소주기는
즉 T0에 정수 분수를 취한 값이므로 이 고조파 역시 주기 T0를 가진다.
정리하자면, 연속복소지수함수의 경우 고조파들은 모두 동일한 주기 T0를 가진다.
이제 아래와같이 일반적인 복소지수함수를 고려하자.
두 복소수 C<a를 C는 극좌표 형식으로, a는 직교좌표 형식으로 나타내는건 내 마음이다.
오일러공식에 의해
실수부가 신호를 나타내므로 r에따라 진동하며 감쇠하거나 발산하는 형태의 신호가 나타난다.
[이산시간신호의 복소지수신호]
일반적인 이산복소지수신호의 형태는 다음과 같다. C,B는 복소수이다.
마찬가지로 이해를 돕기위해 순허수 형태를 먼저 고려해보자.
연속시간신호와 완전히 동일하다.
일반적인 경우를 보자. 이산시간신호에서는 복소수를 극좌표로 두는것이 자연스럽다.
[연속시간신호와 이산시간신호의 특성]
연속시간신호는
1.주파수가 커질수록 주기가 짧아지고 회전(진동)이 빨라진다.
2.모든 주파수에 대해 신호가 주기적이다. (실수 주기가 존재한다)
3.고조파들은 같은 주기를 공유하긴 하지만 다 다른 신호다. (계속 잘게 쪼개짐)
반면에
1. 이산시간신호는 n이 정수이므로, 진동수가 2pi 차이나는 모든 신호들이 서로 완전히 같다.
따라서 이산시간신호는 2pi구간만 파악하면 된다.
진동수 w0가 2pi인 경우, 이웃한 샘플간에 각도 차이가 2pi이므로 동일한 신호가 반복된다.
w0가 pi인 경우 이웃한 샘플간에 각도차이가 pi이므로 서로 크기가 반대인 신호가 반복된다. 이때 신호가 가장 빠르게 변한다.
진동수가 0~pi까지는 신호의 변화가 점점 커지지만 pi~2pi 로 가면서 신호의 변화가 점점 작아진다.
2. 이산시간신호는 w0/2pi값이 유리수가 아니라면 주기가 존재하지 않는다.
따라서 이산시간신호는 경우에 따라 주기성이 없을수도 있다. (샘플을 불연속적으로 건너뛰기 때문에, 주기적으로 등장하지 않을수 있다.)
이때, m과N이 서로소인 경우 N이 기본주기가 된다. (검증은 생략, 암기)
3.이산복소지수의 서로다른 고조파는 기본주기 N개밖에 없다.
둘의 차이를 정리하면 다음과 같다.
[이산시간신호의 단위임펄스와 단위계단신호]
다음의 두 신호를 특별히 기억하도록 하자.
두 신호의 기본관계는 다음과 같다.
식2는 아래와 완전히 동일한 식이다.
임의의 신호 x[n]에 대하여, 단위임펄스신호로 다음과 같은 항등식을 만들 수 있다. 샘플링시 유용한 기법이니 나중에 다시보도록 한다.
[연속시간신호의 단위임펄스와 단위계단함수]
연속시간신호에서의 기준은 단위계단함수이다. 단위임펄스는 크기가 1이 아니어도 되지만, 단위계단함수의 크기는 반드시 1이어야 한다.
단위계단함수는 단위임펄스의 적분과 같으므로 다음과같은 중요한 관계가 성립한다.
여기서 문제가 발생하는데, u(t)가 0에서 미분불가능하고, 단위임펄스가 불연속적이라는 점이다.
이 문제를 해결하기위해 단위계단함수를 부드럽게 증가하는 연속함수로 근사하는 방법을 사용한다.
위와 같이 새로운 단위계단함수를 도입하고, delta를 매우 줄이면 된다.
이때, 단위임펄스의 면적이 1어야 하므로 임펄스의 크기는 무한이 된다는 점에 주의하라.
이산시간에서와 마찬가지로 일반적인 경우에 대해 단위계단함수는 다음과 동치이다.
마찬가지로 다음 등식도 성립한다.
실제 물리적인 상황에서 중요한것은 임펄스의 적분값이지 모양이 아니다.(단, 입력시간이 충분히 짧을 경우)
이 적분값은 계단응답의 상승량이다.
[시스템이란?]
시스템이란, 입력신호를 받아 어떤 규칙에 따라 출력신호로 변환하는 규칙,체계를 의미한다.
예컨대 실제 물리적 상황 등에서 자주 등장하는 모델인 선형상미분방정식을 시스템의 예로 들 수 있다.
여러 종류의 시스템들이 수학적으로 유사한 형태를 가지므로, 유용한 시스템들은 기억하는게 좋다.
이러한 시스템들의 이상적인 모델이므로 실제와는 약간의 차이가 있지만, 그 오차를 충분히 줄일수 있다면 공학적으로 의미있는 시스템이 될 수 있다.
시스템의 상호연결방식은 크게 3가지가 있다.
1. 직렬(Cascade), 2. 병렬(Pararell), 3. 피드백 연결이다.
이제 시스템의 기본적인 특성들에 대해 알아볼 것이다.
시스템의 주요 특성은 다음과 같다.
1. 기억성(Memory)
2. 가역성(Invertibility)
3. 안정성(BIBO Stability)
4. 시불변성(Time Invariance)
5. 선형성(Linearity)
6. 인과성(Casuality)
앞으로 어떤 시스템을 분석할 때, 위 6가지 주요특성의 관점이 분류기준이 될 것이다.
1.기억성
어떤 신호의 출력이 해당 시간에서의 입력값에만 의존한다면 메모리가없는(Memoryless)시스템 이라고 하며, 예컨대 다음과 같은 시스템이 있다.
'반면, 시스템이 출력값을 내는데 해당 시간이 아닌 시간에서의 입력값을 요구한다면 이는 메모리가있는 시스템이다.
이러한 시스템은 이전까지의 정보를 저장하고 유지하는 매커니즘이 필요하다.
2.가역성
어떤 출력값들을 보고 입력값을 하나로 특정할 수 있다면 이 시스템은 가역적이다.
예컨대 누산기는 출력값 y들로부터 n번째 입력값을 표현할 수 있어 가역적이다.
실제 상황에서, 정보는 인코딩을 거쳐 변형되는데, 이 변형된 신호를 디코딩할 수 있어야 하므로 가역성은 중요한 특징이다.
3.인과성
출력값이 현재 또는 이전의 입력값에만 의존하는 경우 시스템이 인과적이라고 한다.
어떤 시점 전후의 입력을 모두 고려하는 시스템의 경우 비인과적일 수 있다.
예컨대 주식변동차트의 특정시점입력 전후를 고려해 추세선을 출력할 경우 이 시스템은 비인과적이다.
4.안정성
모든 시점 n또는 t에 대해, 입력값이 유계일 때 출력값도 유계인 경우 시스템이 안정적이라고 한다.
예컨대, 아래와 같은 시스템은 입력값 x(t)가 제한되면 출력값 y(t)도 제한이 된다.
그러나 위와같은 시스템은 입력값 x(t)가 제한되더라도 t에 의해 출력값 y(t)는 제한없이 커질 수 있으므로 불안정하다.
5.시불변성(Time invariance)
어떤 시스템의 출력 y(t)에 대해, 출력시점을 t-t0로 미룬 경우의 출력값이 입력값만을 t-t0로 미뤘을 때의 출력값과 같다면 이 시스템은 시불변적이라고 한다.
쉽게말하면, 입력 시점이 출력값에 영향을 미치지 않는 시스템을 의미한다.
그래프로 생각해보자. 입력 x(t)와 출력 y(t)가 위아래로 배치되어 있을 때, 두 그래프를 동시에 t0 평행이동 하면 시간축에서 입력과 출력이 그대로 오른쪽으로 이동할 것이다. 하지만 신호의 발생시점이 미뤄졌을 뿐 입력에 대한 출력값의 패턴은 동일하게 유지된다.
다음과 같은 시간스케일링 시스템을 생각해보자.
이 시스템 T{}는 입력값 x(t)의 폭을 절반으로 줄여 출력하는 시스템이다.
출력만을 t0 미루면 다음과 같다.
y(t-t0)=x(2(t-t0))...........(1)
이제 입력값 x(t)만을 t0미루면 입력이 x(t-t0)이므로, 이를 절반 줄이면 다음과 같다.
y2(t)=x(2t-t0)...............(2)
y를 이동한 1번식과 입력만을 이동한 2번식이 일치하지 않으므로, 이 시스템은 시변적이다.
반면 위 식은,
y(t-t0)=sinx(t-t0)
y2(t)=sinx(t-t0)
이므로 시변적이다.
6.선형성
어떤 시스템이 다음 두 조건을 만족시키면 선형적이며, 중첩원리(superposition)을 만족한다고 한다.
첫번째, 어떤 시점에서의 두 입력값의 합을 입력하면 각각의 입력값에대한 출력값의 합이 나온다. (가산성, additivity)
두번째, 어떤 시점에서의 입력값을 실수 k배 하면 출력값도 k배가 된다. (동질성, homogeneity)
다음과 같은 시스템을 생각해보면 비선형적이라는것을 바로 알 수 있다.
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